Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
f) g(t) = ((t^2 + 1) / (t^2 - 1))^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. Temos uma função composta, onde uma função está dentro de outra. Aqui, a parte interna é e essa tudo está elevado à terceira potência. Para derivar isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é . No nosso caso, e . Então, vamos derivar em relação a e depois multiplicar pela derivada de .

Passo 4

Primeiro, derivamos . Usando a regra do poder, a derivada é .

Passo 5

Agora, precisamos derivar . Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se , então .

Passo 6

Vamos identificar e . Derivando cada uma:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Então,

Passo 8

Agora, voltando à aplicação da Regra da Cadeia:

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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