Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função. Temos uma função composta, onde uma função está dentro de outra. Aqui, a parte interna é
e essa tudo está elevado à terceira potência. Para derivar isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.
Passo 3
A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
é
. No nosso caso,
e
. Então, vamos derivar
em relação a
e depois multiplicar pela derivada de
.
Passo 4
Primeiro, derivamos
. Usando a regra do poder, a derivada é
.
Passo 5
Agora, precisamos derivar
. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se
, então
.
Passo 6
Vamos identificar
e
. Derivando cada uma:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 8
Agora, voltando à aplicação da Regra da Cadeia:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada da função é: