Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
pode ser escrita como uma combinação de termos envolvendo potências de
e
, com coeficientes binomiais. A matéria que vamos usar aqui é a expansão do seno de múltiplos ângulos usando a fórmula do binômio de Newton. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como expandir
usando números complexos e depois focar na parte imaginária dessa expansão.
Passo 2
Primeiro, lembre-se da fórmula de Euler, que relaciona funções trigonométricas com números complexos:
Se a gente elevar ambos os lados à potência
, temos:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, aplicamos a expansão binomial no lado direito da equação:
Simplificando isso, fica:
Passo 4
Sabemos que
. Então, igualando as partes imaginárias dos dois lados, temos:
A parte imaginária só aparece quando
é imaginário, ou seja, quando
é ímpar. Portanto, podemos reescrever a soma considerando apenas os termos ímpares:
Como
, a parte imaginária fica:
Passo 5
Reorganizando os termos e usando a definição de combinação, a gente chega na expressão desejada:
Resposta
Portanto, mostramos que: