Mostre que
sen(n * theta) = C(n, 1) * cos^(n-1)(theta) * sen(theta) - C(n, 3) * cos^(n-3)(theta) * sen^3(theta) + ...
onde C(n,m) = n! / ((n-m)! m!)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função pode ser escrita como uma combinação de termos envolvendo potências de cos(theta) e , com coeficientes binomiais. A matéria que vamos usar aqui é a expansão do seno de múltiplos ângulos usando a fórmula do binômio de Newton. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como expandir usando números complexos e depois focar na parte imaginária dessa expansão.

Passo 2

Primeiro, lembre-se da fórmula de Euler, que relaciona funções trigonométricas com números complexos:
Se a gente elevar ambos os lados à potência n, temos:
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, aplicamos a expansão binomial no lado direito da equação:
Simplificando isso, fica:

Passo 4

Sabemos que . Então, igualando as partes imaginárias dos dois lados, temos:
A parte imaginária só aparece quando é imaginário, ou seja, quando m é ímpar. Portanto, podemos reescrever a soma considerando apenas os termos ímpares:
Como , a parte imaginária fica:

Passo 5

Reorganizando os termos e usando a definição de combinação, a gente chega na expressão desejada:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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