Usando as identidades
cos(z) = (e^(i*z) + e^(-i*z)) / 2, sin(z) = (e^(i*z) - e^(-i*z)) / (2*i)
estabelecidas por comparaçãoo de séries de potências, mostre que
sen(x + i*y) = sen(x) * cosh(y) + i * cos(x) * sinh(y) cos(x + i*y) = cos(x) * cosh(y) - i * sen(x) * sinh(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar como as funções seno e cosseno se comportam quando o argumento é um número complexo, tipo . Para isso, vamos usar as identidades que expressam seno e cosseno em termos de exponenciais complexas:
Essas fórmulas são super úteis quando trabalhamos com números complexos. Vamos usá-las para expandir e e chegar nas expressões que o exercício pede.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular usando a definição em termos de exponenciais:
Vamos simplificar os expoentes:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as exponenciais:
Sabemos que e , então substituindo:

Passo 4

Vamos distribuir os termos:
Agrupando os termos com e :

Passo 5

A gente lembra que e . Vamos usar isso para simplificar:
Simplificando os 2 que está no numerador e denominador:

Passo 6

Dividindo cada termo por :

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para . Usando a definição:
Simplificando os expoentes:

Passo 8

Separando as exponenciais:
Substituindo e :

Passo 9

Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com e :

Passo 10

Usando novamente e :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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