Usando as identidades
estabelecidas por comparaçãoo de séries de potências, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar como as funções seno e cosseno se comportam quando o argumento é um número complexo, tipo
. Para isso, vamos usar as identidades que expressam seno e cosseno em termos de exponenciais complexas:
Essas fórmulas são super úteis quando trabalhamos com números complexos. Vamos usá-las para expandir
e
e chegar nas expressões que o exercício pede.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
usando a definição em termos de exponenciais:
Vamos simplificar os expoentes:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as exponenciais:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Passo 4
Vamos distribuir os termos:
Agrupando os termos com
e
:
Passo 5
A gente lembra que
e
. Vamos usar isso para simplificar:
Simplificando os 2 que está no numerador e denominador:
Passo 6
Dividindo cada termo por
:
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Usando a definição:
Simplificando os expoentes:
Passo 8
Separando as exponenciais:
Substituindo
e
:
Passo 9
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com
e
:
Passo 10
Usando novamente
e
:
Resposta
Portanto, mostramos que: