Mostre que
cos(n * theta) = cos^n(theta) - C(n, 2) * cos^(n-2)(theta) * sen^2(theta) + C(n, 4) * cos^(n-4)(theta) * sen^4(theta) + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a expressão para pode ser expandida de uma maneira específica usando potências de seno e cosseno junto com coeficientes binomiais. Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula de De Moivre e a expansão binomial. Essas ferramentas nos ajudarão a expandir e isolar a parte real dessa expressão, que corresponde ao .

Passo 2

Primeiro, lembremos da fórmula de De Moivre, que diz que:
Essa fórmula relaciona potências de números complexos com funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos expandir usando a expansão binomial. A expansão binomial para é dada por:
Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 4

Vamos simplificar . Sabemos que alterna entre valores dependendo de :
Porém, como queremos apenas a parte real para encontrar , vamos focar nos termos onde é par, já que resulta em números reais.

Passo 5

Assim, isolamos os termos pares na expansão:
Simplificando :
Então:

Passo 6

Podemos reescrever a soma considerando os sinais:
Notamos que os sinais alternam devido ao , mas como a questão apresenta apenas os termos com sinais positivos, ela está considerando apenas os primeiros termos ou uma versão sem os sinais alternados.

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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