Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a expressão para pode ser expandida de uma maneira específica usando potências de seno e cosseno junto com coeficientes binomiais. Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula de De Moivre e a expansão binomial. Essas ferramentas nos ajudarão a expandir e isolar a parte real dessa expressão, que corresponde ao .
Passo 2
Primeiro, lembremos da fórmula de De Moivre, que diz que:
Essa fórmula relaciona potências de números complexos com funções trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos expandir usando a expansão binomial. A expansão binomial para é dada por:
Aplicando isso à nossa expressão:
Passo 4
Vamos simplificar . Sabemos que alterna entre valores dependendo de :
Porém, como queremos apenas a parte real para encontrar , vamos focar nos termos onde é par, já que resulta em números reais.
Passo 5
Assim, isolamos os termos pares na expansão:
Simplificando :
Então:
Passo 6
Podemos reescrever a soma considerando os sinais:
Notamos que os sinais alternam devido ao , mas como a questão apresenta apenas os termos com sinais positivos, ela está considerando apenas os primeiros termos ou uma versão sem os sinais alternados.