Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
i) f(x) = tg(e^x) + e^(tg(x))

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos trabalhar com conceitos de derivação, principalmente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como as que temos nesse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira parte da função: .
Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Aqui, , e a derivada de em relação a é .
Então, a derivada da primeira parte é:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda parte da função: .
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde . A derivada de em relação a é .
Então, a derivada da segunda parte é:

Passo 4

Finalmente, somamos as derivadas das duas partes para obter a derivada total da função :

Resposta

A derivada da função é:

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