Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer mostrar que a função arco-tangente de
, que é
, pode ser escrita usando logaritmos da seguinte forma:
Para fazer isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções trigonométricas complexas e logaritmos complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função tangente inversa pode ser expressa em termos de funções exponenciais complexas. A relação entre tangente e exponencial é uma ferramenta poderosa para reescrever a expressão.
A tangente inversa pode ser definida por:
Nosso objetivo é manipular essa expressão para chegar na forma que queremos.
Passo 3
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a expressão. Observamos que multiplicar numerador e denominador por
vai ajudar a ajustar a fração interna:
Como
, substituímos:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos perceber que trocar o numerador e o denominador dentro do logaritmo altera o sinal da expressão inteira:
Substituindo de volta na expressão da tangente inversa:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o coeficiente
. Sabemos que
e que
(porque
).
Então:
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, mostramos que: