Mostre que
tan^(-1) z = (i/2) ln((i+z)/(i-z))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer mostrar que a função arco-tangente de , que é , pode ser escrita usando logaritmos da seguinte forma:
Para fazer isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções trigonométricas complexas e logaritmos complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente inversa pode ser expressa em termos de funções exponenciais complexas. A relação entre tangente e exponencial é uma ferramenta poderosa para reescrever a expressão.
A tangente inversa pode ser definida por:
Nosso objetivo é manipular essa expressão para chegar na forma que queremos.

Passo 3

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a expressão. Observamos que multiplicar numerador e denominador por vai ajudar a ajustar a fração interna:
Como , substituímos:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos perceber que trocar o numerador e o denominador dentro do logaritmo altera o sinal da expressão inteira:
Substituindo de volta na expressão da tangente inversa:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o coeficiente . Sabemos que e que (porque ).
Então:
Substituindo de volta:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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