Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
s) f(t) = t * sen(t) / (1 + t)

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a regra do quociente, que usamos quando temos uma divisão de duas funções. Vamos precisar saber como derivar senos e polinômios.

Passo 2

Primeiro, identifique as partes da função que serão usadas na regra do quociente. Na nossa função , temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar e separadamente.
  • Para derivar , usamos a regra do produto:
  • Para derivar :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é:
Substituindo , , e :

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:
Simplificando:

Passo 6

Então, a derivada fica:
Podemos fatorar :

Resposta

A função derivada é:

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