Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
c) f(x) = x^(-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Além disso, precisamos determinar os domínios da função original e da sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada, como usar a definição de derivada e como determinar o domínio de funções matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função. A derivada mede a taxa de variação da função em relação à variável independente. Usando a definição, a derivada de em é dada por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, reescrevemos como e como :

Passo 5

Para facilitar a subtração, encontramos um denominador comum para as duas frações no numerador, que é :

Passo 6

Expandimos :
Substituindo de volta:

Passo 7

Simplificamos o numerador:
Então:

Passo 8

Fatoramos no numerador:
Cancelamos o que está no numerador e no denominador:

Passo 9

Agora, aplicamos o limite . Substituímos por 0 na expressão restante:

Passo 10

Simplificamos a expressão final dividindo por :

Resposta

A derivada da função é .
O domínio da função original é todos os números reais exceto , ou seja, .
Já o domínio da derivada também é .

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