Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Além disso, precisamos determinar os domínios da função original e da sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada, como usar a definição de derivada e como determinar o domínio de funções matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função. A derivada mede a taxa de variação da função em relação à variável independente. Usando a definição, a derivada de
em
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Vamos substituir na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, reescrevemos
como
e
como
:
Passo 5
Para facilitar a subtração, encontramos um denominador comum para as duas frações no numerador, que é
:
Passo 6
Expandimos
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Simplificamos o numerador:
Então:
Passo 8
Fatoramos
no numerador:
Cancelamos o
que está no numerador e no denominador:
Passo 9
Agora, aplicamos o limite
. Substituímos
por 0 na expressão restante:
Passo 10
Simplificamos a expressão final dividindo
por
:
Resposta
A derivada da função
é
.
O domínio da função original
é todos os números reais exceto
, ou seja,
.
Já o domínio da derivada
também é
.