Calcular fx, fy, fx x, fx y, fx y, fy x
f(x, y)=xx+y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y)=xx+y. O conteúdo envolve derivadas parciais de funções de duas variáveis, usando regra do quociente, produto e potência. Vamos precisar lembrar que, para f(x,y)=u(x,y)v(x,y), vale fx=ux v - u vxv^2, e de forma análoga para fy.

Passo 2

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra do quociente: para u=x e v=x+y, temos
ux=1, vx=1, uy=0, vy=1
Logo,
fx=1cdot(x+y)-xcdot1(x+y)^2=y(x+y)^2,
e
fy=0cdot(x+y)-xcdot1(x+y)^2=-x(x+y)^2

Passo 3

Agora, para as segundas derivadas, usamos regra da potência e produto:
fx= y,(x+y)^-2
Derivando fx em relação a x:
fxx=ycdot(-2),(x+y)^-3cdot1=-2y(x+y)^3
Derivando fx em relação a y:
fxy=1cdot(x+y)^-2+ycdot(-2),(x+y)^-3cdot1= 1(x+y)^2-2y(x+y)^3= x+y-2y(x+y)^3=x-y(x+y)^3

Passo 4

Por fim, derivamos fy=-x,(x+y)^-2 em relação a x para obter fyx:
fyx=-1cdot(x+y)^-2+(-x)cdot(-2),(x+y)^-3cdot1= -1(x+y)^2+2x(x+y)^3= - (x+y)+2x(x+y)^3=x-y(x+y)^3
Note que fxy=fyx, como esperado quando as derivadas são contínuas.

Resposta

f_x=\frac{y}{(x+y)^2},
f_y=-\frac{x}{(x+y)^2},
f_{xx}=-\frac{2y}{(x+y)^3},
f_{xy}=\frac{x-y}{(x+y)^3},
f_{yx}=\frac{x-y}{(x+y)^3}

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