Calcular
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. O conteúdo envolve derivadas parciais de funções de duas variáveis, usando regra do quociente, produto e potência. Vamos precisar lembrar que, para
, vale
, e de forma análoga para
.
Passo 2
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra do quociente: para
e
, temos
Logo,
e
Passo 3
Agora, para as segundas derivadas, usamos regra da potência e produto:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Por fim, derivamos
em relação a
para obter
:
Note que
, como esperado quando as derivadas são contínuas.
Resposta
f_x=\frac{y}{(x+y)^2},
f_y=-\frac{x}{(x+y)^2},
f_{xx}=-\frac{2y}{(x+y)^3},
f_{xy}=\frac{x-y}{(x+y)^3},
f_{yx}=\frac{x-y}{(x+y)^3}
f_y=-\frac{x}{(x+y)^2},
f_{xx}=-\frac{2y}{(x+y)^3},
f_{xy}=\frac{x-y}{(x+y)^3},
f_{yx}=\frac{x-y}{(x+y)^3}