Calcular I=\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} d x d y, ONDe R l’A Regiāo so plano xy delimitada por
x^{2}+y^{2}=4, e,-x^{2}+y^{2}=9
( 2,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede calcular
I = \iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
onde R é a região do plano limitada pelas curvas
x^{2}+y^{2}=4 \quad\text{e}\quad -\,x^{2}+y^{2}=9.
O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares e avaliação de integral dupla.

Passo 2

Vamos entender a região R. Em geral, “limitada por” indica a interseção das desigualdades
x^{2}+y^{2}\le4 \quad\text{e}\quad y^{2}-x^{2}\le9.
Mas, se (x,y) satisfaz x^{2}+y^{2}\le4, então
y^{2}-x^{2} \;=\;(x^{2}+y^{2})-2x^{2}\le 4-2x^{2}\le4<9.
Logo toda a bola de raio 2 já satisfaz y^{2}-x^{2}\le9. Portanto R é simplesmente o disco
x^{2}+y^{2}\le4.

Passo 3

Para integrar sobre o disco, usamos coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta, \quad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Assim
I =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r. Fazendo a substituição
u = r^{2},\quad du = 2r\,dr \;\Longrightarrow\; r\,dr = \tfrac12\,du,
temos
\int_{0}^{2} e^{r^{2}}\,r\,dr =\tfrac12\int_{u=0}^{4} e^{u}\,du =\tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{4} =\tfrac12\bigl(e^{4}-1\bigr).
Portanto
I =\int_{0}^{2\pi}\!\Bigl(\tfrac12(e^{4}-1)\Bigr)\,d\theta =\tfrac12\,(e^{4}-1)\,2\pi =\pi\bigl(e^{4}-1\bigr).

Resposta

I = \pi\bigl(e^{4}-1\bigr).

Exercícios relacionados