Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
a) Domínio da função;
a) Domínio da função;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de quatro funções e, para cada uma, indicar seu domínio (caso exista restrição). Vamos precisar de duas ferramentas principais:
- Analisar o domínio buscando proibições (raízes de denominador, argumentos de log, etc.).
- Estudar comportamento geral via interceptos, limites em ±∞, derivada para pontos críticos e, quando houver, assíntotas.
Passo 2
f(x)=x³–3x
– Domínio: todos os reais, pois não há denominação ou radicais.
– Intercepto em y (x=0): f(0)=0. Raízes de f: x(x²–3)=0 ⇒ x=0, x=±√3≈±1,732.
– Derivada:
– Domínio: todos os reais, pois não há denominação ou radicais.
– Intercepto em y (x=0): f(0)=0. Raízes de f: x(x²–3)=0 ⇒ x=0, x=±√3≈±1,732.
– Derivada:
⇒ pontos críticos em x=±1.
– Valores críticos:
– Valores críticos:
– Comportamento em ±∞: f(x)→+∞ quando x→+∞ e f(x)→−∞ quando x→−∞ (função ímpar de grau 3).
Esboço: curva cúbica com ponto de máximo local em (−1,2), mínimo local em (1,−2), passa por (−√3,0),(0,0),(√3,0) e sobe à direita, desce à esquerda.
Esboço: curva cúbica com ponto de máximo local em (−1,2), mínimo local em (1,−2), passa por (−√3,0),(0,0),(√3,0) e sobe à direita, desce à esquerda.
Passo 3
g(x)=12–3x²–2x³
– Domínio: todos os reais.
– Intercepto em y: g(0)=12. Raiz aproximada: solve 2x³+3x²–12=0 tem uma raiz positiva ≈1,4 e duas negativas complexas, mas basta saber que corta o eixo x uma vez.
– Derivada:
– Domínio: todos os reais.
– Intercepto em y: g(0)=12. Raiz aproximada: solve 2x³+3x²–12=0 tem uma raiz positiva ≈1,4 e duas negativas complexas, mas basta saber que corta o eixo x uma vez.
– Derivada:
⇒ críticos em x=0 e x=−1.
– Valores:
– Valores:
– Em ±∞: termo dominante −2x³ faz g(x)→−∞ se x→+∞ e g(x)→+∞ se x→−∞.
Esboço: desce vindo de +∞ à esquerda, mínimo leve em (−1,11), sobe até (0,12), depois cai de forma cúbica para −∞.
Esboço: desce vindo de +∞ à esquerda, mínimo leve em (−1,11), sobe até (0,12), depois cai de forma cúbica para −∞.
Passo 4
h(x)=1/(1−x²)
– Domínio: valores que não anulam o denominador 1−x²≠0 ⇒ x≠±1. Logo
– Domínio: valores que não anulam o denominador 1−x²≠0 ⇒ x≠±1. Logo
– Assíntotas verticais em x=±1.
– Assíntota horizontal: limite quando x→±∞ é
– Assíntota horizontal: limite quando x→±∞ é
logo y=0.
– Sinal: para |x|<1, 1−x²>0 ⇒ h>0, vai de +∞ em x→1⁻ até h(0)=1 e de volta a +∞ em x→−1⁺.
Para |x|>1, 1−x²<0 ⇒ h<0, tende a 0⁻ em ±∞, vai a −∞ em x→1⁺ e a +∞ em x→−1⁻.
Esboço: ramos hiperbólicos com simetria par, verticais em x=±1 e horizontal em y=0.
– Sinal: para |x|<1, 1−x²>0 ⇒ h>0, vai de +∞ em x→1⁻ até h(0)=1 e de volta a +∞ em x→−1⁺.
Para |x|>1, 1−x²<0 ⇒ h<0, tende a 0⁻ em ±∞, vai a −∞ em x→1⁺ e a +∞ em x→−1⁻.
Esboço: ramos hiperbólicos com simetria par, verticais em x=±1 e horizontal em y=0.
Passo 5
p(x)=e^{,1−x²}
– Domínio: todos os reais (exponencial sempre definida).
– É uma “campânula” centrada em x=0.
– Valor máximo em x=0: p(0)=e¹=e.
– Limites em ±∞:
– Domínio: todos os reais (exponencial sempre definida).
– É uma “campânula” centrada em x=0.
– Valor máximo em x=0: p(0)=e¹=e.
– Limites em ±∞:
– Derivada p’(x)=e{1-x{2}}\cdot(-2x), zera em x=0 (máximo) e decresce simetricamente para 0 em ±∞.
Esboço: curva lisa, simétrica, pico em (0,e) e decaimento suave para 0.
Esboço: curva lisa, simétrica, pico em (0,e) e decaimento suave para 0.
Resposta
f: Domínio
.
g: Domínio .
h: Domínio .
p: Domínio .
g: Domínio
h: Domínio
p: Domínio