Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
a) Domínio da função;
f(x)=x^{3}-3 x \quad g(x)=12-3 x^{2}-2 x^{3} \\\ h(x)=\frac{1}{1-x^{2}} \quad p(x)=e^{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de quatro funções e, para cada uma, indicar seu domínio (caso exista restrição). Vamos precisar de duas ferramentas principais:
  1. Analisar o domínio buscando proibições (raízes de denominador, argumentos de log, etc.).
  2. Estudar comportamento geral via interceptos, limites em ±∞, derivada para pontos críticos e, quando houver, assíntotas.

Passo 2

f(x)=x³–3x
– Domínio: todos os reais, pois não há denominação ou radicais.
– Intercepto em y (x=0): f(0)=0. Raízes de f: x(x²–3)=0 ⇒ x=0, x=±√3≈±1,732.
– Derivada:
f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1)
⇒ pontos críticos em x=±1.
– Valores críticos:
f(-1)=-1+3=2,\qquad f(1)=1-3=-2.
– Comportamento em ±∞: f(x)→+∞ quando x→+∞ e f(x)→−∞ quando x→−∞ (função ímpar de grau 3).
Esboço: curva cúbica com ponto de máximo local em (−1,2), mínimo local em (1,−2), passa por (−√3,0),(0,0),(√3,0) e sobe à direita, desce à esquerda.

Passo 3

g(x)=12–3x²–2x³
– Domínio: todos os reais.
– Intercepto em y: g(0)=12. Raiz aproximada: solve 2x³+3x²–12=0 tem uma raiz positiva ≈1,4 e duas negativas complexas, mas basta saber que corta o eixo x uma vez.
– Derivada:
g'(x)=-6x^{2}-6x=-6x(x+1)
⇒ críticos em x=0 e x=−1.
– Valores:
g(0)=12\quad(\text{máximo local, pois }g''(0)=-6<0),á
g(-1)=12-3(1)-2(-1)=11\quad(\text{mínimo local, pois }g''(-1)=6>0).í
– Em ±∞: termo dominante −2x³ faz g(x)→−∞ se x→+∞ e g(x)→+∞ se x→−∞.
Esboço: desce vindo de +∞ à esquerda, mínimo leve em (−1,11), sobe até (0,12), depois cai de forma cúbica para −∞.

Passo 4

h(x)=1/(1−x²)
– Domínio: valores que não anulam o denominador 1−x²≠0 ⇒ x≠±1. Logo
\text{Domínio }=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).í
– Assíntotas verticais em x=±1.
– Assíntota horizontal: limite quando x→±∞ é
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{1-x^{2}}=0,
logo y=0.
– Sinal: para |x|<1, 1−x²>0 ⇒ h>0, vai de +∞ em x→1⁻ até h(0)=1 e de volta a +∞ em x→−1⁺.
Para |x|>1, 1−x²<0 ⇒ h<0, tende a 0⁻ em ±∞, vai a −∞ em x→1⁺ e a +∞ em x→−1⁻.
Esboço: ramos hiperbólicos com simetria par, verticais em x=±1 e horizontal em y=0.

Passo 5

p(x)=e^{,1−x²}
– Domínio: todos os reais (exponencial sempre definida).
– É uma “campânula” centrada em x=0.
– Valor máximo em x=0: p(0)=e¹=e.
– Limites em ±∞:
\lim_{x\to\pm\infty}e^{1-x^{2}}=0.
– Derivada p’(x)=e{1-x{2}}\cdot(-2x), zera em x=0 (máximo) e decresce simetricamente para 0 em ±∞.
Esboço: curva lisa, simétrica, pico em (0,e) e decaimento suave para 0.

Resposta

f: Domínio \mathbb{R}.
g: Domínio \mathbb{R}.
h: Domínio (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
p: Domínio \mathbb{R}.

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