Dados os números
e
sejam
e
as raízes da equação
e para cada número inteiro não negativo
, defina
. Prove que, para inteiro não negativo
, vale a igualdade
Passo 1
O enunciado dá a equação característica
cuja raízes são
e
. Define-se a sequência
para inteiro
. O que queremos mostrar é que
satisfaz a recorrência linear de segunda ordem
Para isso, vamos usar o fato de que cada raiz
da equação característica também satisfaz a relação
, e então elevar essa relação a potências adequadas.
Passo 2
Como
é raiz de
, temos
para
. Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Passo 3
Agora multiplicamos a relação acima por
quando
e por
quando
, e somamos os dois casos:
Reagrupando, fica
Pela definição de
, isso é exatamente