Dados os números \alpha, \beta, S e P sejam r_{1} e r_{2} as raízes da equação \chi^{2}-S x+P=0 e para cada número inteiro não negativo n, defina x_{n}=\alpha r_{1}^{n}+\beta r_{2}^{n}. Prove que, para inteiro não negativo n, vale a igualdade
x_{n+2}=S x_{n+1}-P x_{n}

Passo 1

O enunciado dá a equação característica
\chi^2 - S\chi + P = 0
cuja raízes são r_{1} e r_{2}. Define-se a sequência
x_{n} = \alpha\,r_{1}^{n} + \beta\,r_{2}^{n},
para inteiro n\ge0. O que queremos mostrar é que (x_{n}) satisfaz a recorrência linear de segunda ordem
x_{n+2} = S\,x_{n+1} - P\,x_{n}.
Para isso, vamos usar o fato de que cada raiz r_{i} da equação característica também satisfaz a relação
\,r_{i}^{2} = S\,r_{i} - P, e então elevar essa relação a potências adequadas.

Passo 2

Como r_{i} é raiz de \chi^2 - S\chi + P=0, temos
r_{i}^2 = S\,r_{i} - P,
para i=1,2. Multiplicando ambos os lados por r_{i}^{n}, obtemos
r_{i}^{n+2} = S\,r_{i}^{n+1} - P\,r_{i}^{n}.

Passo 3

Agora multiplicamos a relação acima por \alpha quando i=1 e por \beta quando i=2, e somamos os dois casos:
\alpha\,r_{1}^{n+2} + \beta\,r_{2}^{n+2} = \alpha\bigl(S\,r_{1}^{n+1} - P\,r_{1}^{n}\bigr) + \beta\bigl(S\,r_{2}^{n+1} - P\,r_{2}^{n}\bigr).
Reagrupando, fica
\alpha\,r_{1}^{n+2} + \beta\,r_{2}^{n+2} = S\bigl(\alpha\,r_{1}^{n+1} + \beta\,r_{2}^{n+1}\bigr) - P\bigl(\alpha\,r_{1}^{n} + \beta\,r_{2}^{n}\bigr).
Pela definição de x_{n}, isso é exatamente
x_{n+2} = S\,x_{n+1} - P\,x_{n}.

Resposta

\boxed{x_{n+2} = S\,x_{n+1} - P\,x_{n},\quad n\ge0.}

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