Calcular a integral I=\int_{0}^{1} \int_{-x}^{y} e^{-y^{2}} d y d x.
(2,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\int_{0}^{1}\int_{-x}^{x}e^{-y^{2}}\,dy\,dx.
Aqui o conteúdo é mudança na ordem de integração em integrais duplas. Vamos identificar a região de integração e depois trocar a ordem para aproveitar que o integrando depende só de y.

Passo 2

A região
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\,-x\le y\le x\}
pode ser descrita invertendo a ordem: primeiro y varia de -1 a 1 e, para cada y, x varia de |y| até 1. Logo
I=\int_{y=-1}^{1}\int_{x=|y|}^{1}e^{-y^{2}}\,dx\,dy.

Passo 3

No integral interno com respeito a x o integrando e^{-y^2} é constante em x, então
\int_{x=|y|}^{1}e^{-y^{2}}\,dx =(1-|y|)\,e^{-y^{2}}.
Portanto
I=\int_{-1}^{1}(1-|y|)\,e^{-y^{2}}\,dy.

Passo 4

A função (1-|y|)\,e^{-y^{2}} é par em y, então
I=2\int_{0}^{1}(1-y)\,e^{-y^{2}}\,dy =2\Bigl[\int_{0}^{1}e^{-y^{2}}\,dy-\int_{0}^{1}y\,e^{-y^{2}}\,dy\Bigr].

Passo 5

Calculemos cada termo:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}y\,e^{-y^{2}}\,dy.
    Fazendo u=y^{2}, du=2y\,dy, temos
\int_{0}^{1}y\,e^{-y^{2}}\,dy =-\frac12\bigl[e^{-y^{2}}\bigr]_{0}^{1} =\frac{1-e^{-1}}{2}.
  1. O termo \displaystyle \int_{0}^{1}e^{-y^{2}}\,dy não tem primitiva elementar, mas é expresso pela função erro:
\int_{0}^{1}e^{-y^{2}}\,dy =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\erf(1).

Passo 6

Substituindo em I:
I =2\Bigl[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\erf(1)-\frac{1-e^{-1}}{2}\Bigr] =\sqrt{\pi}\,\erf(1)\;-\;(1-e^{-1}).

Resposta

I=\sqrt{\pi}\,\erf(1)\;+\;e^{-1}\;-\;1.

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