Calcular \iiint_{T} z d V, sendo T o sólido delimitado por z=0 \mathrm{e} z=4-x^{2}-y^{2}, interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{T} z\,dV,
onde T é o sólido limitado abaixo por z=0, acima pela superfície paraboloide z=4 - x^2 - y^2 e restrito ao cilindro x^2 + y^2 = 4.
Conteúdo: integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com elemento de volume dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
A região T em projeção no plano xy é o disco 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi, e em z varia de 0 até 4 - r^2.
Logo
\iiint_{T} z\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{4 - r^2} z\,(r\,dz)\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em z:
\int_{z=0}^{4 - r^2} z\,dz = \left[\frac{z^2}{2}\right]_{0}^{4 - r^2} = \frac{(4 - r^2)^2}{2}.
Substituindo na integral total fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r\;\frac{(4 - r^2)^2}{2}\,dr\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{2}r\,(4 - r^2)^2\,dr.

Passo 4

O fator angular dá
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
logo a integral reduz-se a
\iiint_{T} z\,dV = \pi\int_{0}^{2}r\,(4 - r^2)^2\,dr.

Passo 5

Expandimos e integramos em r:
r\,(4 - r^2)^2 = r\,(16 - 8r^2 + r^4) = 16r - 8r^3 + r^5,
\int_{0}^{2}(16r - 8r^3 + r^5)\,dr = \Bigl[8r^2 - 2r^4 + \tfrac{r^6}{6}\Bigr]_{0}^{2} = 8\cdot4 -2\cdot16 + \frac{64}{6} = 32 -32 + \frac{64}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}.

Passo 6

Multiplicando por \pi obtemos
\iiint_{T} z\,dV = \pi\cdot\frac{32}{3} = \frac{32\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32\pi}{3}

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