Calcular

R(x2+y2)dxdy sendo Ra região interna a circunferencia x2+y2 =9 e externa a circunferência a x2+y2=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
onde R é a coroa circular limitada pelas circunferências x^2+y^2=4 (raio 2) e x^2+y^2=9 (raio 3).
Conteúdo: integrais duplas em coordenadas polares. Vamos precisar usar a mudança \,x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o fator jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^2+y^2 = r^2,
e o elemento de área transforma-se como
\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
A região R fica descrita por
2 \le r \le 3,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\iint_{R}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}r^2\bigl(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\bigr) =\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}r^3\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{2}^{3}r^3\,\mathrm{d}r =\left.\frac{r^4}{4}\right|_{2}^{3} =\frac{3^4-2^4}{4} =\frac{81-16}{4} =\frac{65}{4}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{65}{4}\,\mathrm{d}\theta =\frac{65}{4}\,\bigl(2\pi-0\bigr) =\frac{65\pi}{2}.

Resposta

\iint_{R}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{65\pi}{2}.

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