Calcular a massa de uma lamina plana quadrada de 3 cm de lado, com densidade de área em um ponto (x, y) dada por \rho(x, y)=x+y.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina plana quadrada de lado 3\text{ cm}, cuja densidade de área num ponto (x,y) é dada por \rho(x,y)=x+y. Vamos usar o conceito de integral dupla para massa de uma lâmina com densidade superficial.

Passo 2

A definição de massa M é a integral dupla da densidade sobre a região R ocupada pela lâmina. Aqui
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le3,\;0\le y\le3\}
e
M=\iint_{R}\rho(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{3}(x+y)\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro fazemos a integração interna em y:
\int_{y=0}^{3}(x+y)\,dy =\int_{0}^{3}x\,dy+\int_{0}^{3}y\,dy =3x+\frac{3^{2}}{2} =3x+\frac{9}{2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{x=0}^{3}\Bigl(3x+\tfrac{9}{2}\Bigr)\,dx =3\int_{0}^{3}x\,dx+\frac{9}{2}\int_{0}^{3}1\,dx =3\cdot\frac{3^{2}}{2}+\frac{9}{2}\cdot3 =\frac{27}{2}+\frac{27}{2} =27.

Resposta

A massa da lâmina é 27 (em unidades de massa compatíveis, por exemplo gramas).

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