Exercício 01: Resolver as seguintes equações trigonométricas:
\sin 2 x=\sin x, 0<x<\pi \quad

Passo 1

Vamos resolver a equação trigonométrica \sin2x = \sin x no intervalo 0 < x < \pi. Para isso usaremos a identidade de ângulo duplo e as soluções gerais de equações do tipo \sin a = 0 e \cos a = c.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin2x = 2\sin x\cos x
e, substituindo em \sin2x = \sin x, obtemos
2\sin x\cos x = \sin x.

Passo 3

Fatoramos \sin x:
\sin x\,(2\cos x - 1) = 0.

Passo 4

Temos duas possíveis raízes:
\sin x = 0
ou
2\cos x - 1 = 0.
Da primeira condição viria x=0 ou x=\pi, mas ficam fora de 0<x<\pi, logo não contam.

Passo 5

Da segunda condição sai
\cos x = \tfrac12.
As soluções gerais são
x = 2\pi k \pm \tfrac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo 0<x<\pi só entra
x = \tfrac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle x = \tfrac{\pi}{3}.

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