Exercício 01: Resolver as seguintes equações trigonométricas:
4 \csc x+2 \sin x=9 \quad

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
4\,\csc x + 2\,\sin x = 9
O conteúdo aqui é transformar em equação em \sin x usando \csc x = 1/\sin x, obter uma equação quadrática, resolver para \sin x e então encontrar as soluções em x.

Passo 2

Primeiro note que \csc x está definido somente quando \sin x\neq0. Multiplicamos toda a equação por \sin x (válido pois jamais teremos \sin x=0 em solução):
4 + 2\,\sin^2 x = 9\,\sin x.

Passo 3

Reescrevendo em forma de equação quadrática em y=\sin x:
2\,y^2 - 9\,y + 4 = 0.

Passo 4

Resolvendo 2y^2 -9y +4=0 pelo discriminante:
\Delta = (-9)^2 - 4\cdot2\cdot4 = 81 - 32 = 49,
y = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2\cdot2} = \frac{9 \pm 7}{4} \;\Longrightarrow\; y_1 = 4,\; y_2 = \tfrac12.
Como \sin x deve estar em [-1,1], a única solução válida é
\sin x = \frac12.

Passo 5

As soluções gerais de \sin x = \tfrac12 são
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{e}\quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,
para qualquer k\in\mathbb{Z}.

Resposta

x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Exercícios relacionados