Calcular \iint_{R} f(x, y) d x d y, onde:
f(x, y)=x e^{x y} ; R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy
onde f(x,y)=x e^{x y} e
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le x\le3,\;0\le y\le1\}.
O conteúdo requerido é aplicar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e depois executar as integrais simples resultantes.

Passo 2

Como f é contínua em R, pelo Teorema de Fubini temos
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy =\int_{x=1}^{3}\Bigl(\int_{y=0}^{1}x e^{x y}\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1}x e^{x y}\,dy =x\int_{0}^{1}e^{x y}\,dy =x\Bigl[\frac{1}{x}e^{x y}\Bigr]_{y=0}^{y=1} =e^{x}-1.

Passo 4

Substituindo no integral em x:
\int_{1}^{3}(e^{x}-1)\,dx =\int_{1}^{3}e^{x}\,dx-\int_{1}^{3}1\,dx =\bigl[e^{x}\bigr]_{1}^{3}-(3-1) =e^{3}-e-2.

Resposta

e^{3}-e-2

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