Expresse f(t) em termos da função degrau unitário u_{c}(t) :
f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t 2, \\ e^{-(t-2)}, & t \geq 2 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por partes para t\ge0\): \[f(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t < 2,\\\ e^{-(t-2)}, & t \ge 2. \end{cases}
Queremos escrevê-la usando a função degrau unitário (u_c(t)=u(t-c)].

Passo 2

Note que u_2(t)=0 para t<2 e u_2(t)=1 para t\ge2.
  1. Para 0\le t<2, u_2(t)=0, de modo que
1-u_2(t)=1,\quad e^{-(t-2)}u_2(t)=0.
  1. Para t\ge2, u_2(t)=1, de modo que
1-u_2(t)=0,\quad e^{-(t-2)}u_2(t)=e^{-(t-2)}.
Assim podemos combinar ambas as partes como
f(t)=(1 - u_{2}(t)) + e^{-(t-2)}\,u_{2}(t).

Resposta

f(t) = (1 - u_{2}(t)) + e^{-(t-2)}\,u_{2}(t).

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