Calcular \iint_{R} f(x, y) d x d y, onde:
f(x, y)=y \ln x ; R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 \leq x \leq 3,1 \leq y \leq 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy
onde f(x,y)=y\ln x e
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 2\le x\le3,\;1\le y\le2\}.
O conteúdo é cálculo de integral dupla em região retangular, usando o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada.

Passo 2

Como R é retângulo e f é contínua, pelo Teorema de Fubini podemos escrever
\iint_{R}y\ln x\,dx\,dy =\int_{x=2}^{3}\Bigl(\int_{y=1}^{2}y\ln x\,dy\Bigr)dx.
Nesse esquema, \ln x é constante na integral interna em y.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=1}^{2}y\ln x\,dy =\ln x\int_{y=1}^{2}y\,dy =\ln x\cdot\frac{2^{2}-1^{2}}{2} =\frac{3}{2}\ln x.
Logo a integral dupla vira
\int_{x=2}^{3}\frac{3}{2}\ln x\,dx =\frac{3}{2}\int_{2}^{3}\ln x\,dx.

Passo 4

Para \displaystyle\int_{2}^{3}\ln x\,dx use integração por partes com u=\ln x, dv=dx, obtendo
\int\ln x\,dx =x\ln x - x + C.
Assim
\int_{2}^{3}\ln x\,dx =\bigl[\,x\ln x - x\,\bigr]_{2}^{3} =(3\ln 3-3)-(2\ln 2-2) =3\ln 3 -2\ln 2 -1.
Multiplicando por \tfrac{3}{2}
\frac{3}{2}\bigl(3\ln 3 -2\ln 2 -1\bigr) =\frac{9}{2}\ln 3 -3\ln 2 -\frac{3}{2}.

Resposta

\iint_{R}y\ln x\,dx\,dy =\frac{9}{2}\ln 3 \;-\;3\ln 2\;-\;\frac{3}{2}.

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