Desenhe o gráfico das funções abaixo:
f(t-\pi) u_{\pi}(t), onde f(t)=t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o sinal
\displaystyle g(t)=f(t-\pi)\,u_{\pi}(t)
sabendo que f(t)=t^2.
O conteúdo aqui é deslocamento no eixo t (shifting) e multiplicação por um degrau unitário deslocado.

Passo 2

Reconhecemos que
f(t-\pi)=(t-\pi)^2
e que por convenção
u_{\pi}(t)=u(t-\pi)
é o degrau unitário que “liga” em t=\pi.

Passo 3

Ao multiplicar, obtemos
g(t)=(t-\pi)^2\,u(t-\pi).
Isto significa que para t<\pi temos u(t-\pi)=0 e, para t\ge\pi, temos u(t-\pi)=1.

Passo 4

Logo, o sinal é
g(t)= \begin{cases} 0, & t<\pi,\\\ (t-\pi)^2, & t\ge\pi. \end{cases}
Para desenhar, basta traçar a reta g(t)=0 até t=\pi, e a partir de t=\pi traçar a parábola de variável \tau=t-\pi com vértice em (\pi,0).

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico:
g(t)
\uparrow
4
\text{| } \quad \bullet
3
\text{| } \quad \bullet
2
\text{| } \quad \bullet
1
\text{| } \quad \bullet
0
\text{| }\________\bullet\____________\to t
\pi
Aqui a parte até t=\pi é zero (reta no eixo t), e a partir de t=\pi é a curva (t-\pi)^2.

Resposta

g(t)= \begin{cases} 0, & t<\pi,\\\ (t-\pi)^2, & t\ge\pi \end{cases}
com gráfico nulo até t=\pi e, para t\ge\pi, a parábola de vértice em (\pi,0).

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