Use a continuidade para calcular o limite.
\lim _{x \rightarrow 2} \arctan \left(\frac{x^{2}-4}{3 x^{2}-6 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to2}\arctan\!\Bigl(\frac{x^{2}-4}{3x^{2}-6x}\Bigr).
Aqui vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão interna e depois a continuidade da função \arctan.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2), \qquad 3x^{2}-6x=3x(x-2).
Para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{3x^{2}-6x} =\frac{(x-2)(x+2)}{3x(x-2)} =\frac{x+2}{3x}.

Passo 3

Calculamos o limite da fração simplificada quando x\to2:
\lim_{x\to2}\frac{x+2}{3x} =\frac{2+2}{3\cdot 2} =\frac{4}{6} =\frac{2}{3}.

Passo 4

Como \arctan é contínua em todo \mathbb{R}, podemos trocar o limite e a função:
\lim_{x\to2}\arctan\!\Bigl(\frac{x+2}{3x}\Bigr) =\arctan\!\Bigl(\lim_{x\to2}\frac{x+2}{3x}\Bigr) =\arctan\!\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr).

Resposta

\arctan\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)

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