(\mathbf{2}, \mathbf{0}) pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime}+2 y=6, y(0)=1;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + 2y = 6,\quad y(0)=1.
Esse é um caso de EDO linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}.

Passo 3

Multiplicamos a EDO por \mu(x):
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 6e^{2x}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{2x}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr) = e^{2x}y' + 2e^{2x}y.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)\,dx = \int 6e^{2x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}y = 3e^{2x} + C.
Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = 3 + Ce^{-2x}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1 = y(0) = 3 + C\cdot e^{-2\cdot 0} = 3 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -2.

Resposta

y(x) = 3 - 2e^{-2x}.

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