Calcular I=\iint_{S} z d S onde S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos z=0 e z=15.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
I=\iint_{S}z\,dS
onde S é a superfície fechada que consiste em três partes:
  1. o disco inferior S_{\text{inf}}\colon z=0, x^{2}+y^{2}\le9;
  2. o disco superior S_{\text{sup}}\colon z=15, x^{2}+y^{2}\le9;
  3. a superfície lateral S_{\text{lat}}\colon x^{2}+y^{2}=9, 0\le z\le15.
    Vamos calcular separadamente a contribuição de cada parte usando parâmetros apropriados.

Passo 2

Na parte inferior S_{\text{inf}} temos z=0, logo o integrando z é zero. Consequentemente,
\iint_{S_{\text{inf}}}z\,dS=0.

Passo 3

Na parte superior S_{\text{sup}} temos z=15 constante e dS=dA (elemento de área do plano). Em coordenadas polares no disco de raio 3,
\iint_{S_{\text{sup}}}z\,dS =\iint_{x^{2}+y^{2}\le9}15\,dA =15\cdot\bigl(\pi\cdot3^{2}\bigr) =135\pi.

Passo 4

Na superfície lateral S_{\text{lat}} usamos a parametrização
x=3\cos\theta,\quad y=3\sin\theta,\quad z=z, \quad 0\le\theta\le2\pi,\;0\le z\le15.
O elemento de área vale dS=3\,d\theta\,dz. Assim,
\iint_{S_{\text{lat}}}z\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{15}z\;(3\,dz\,d\theta) =3\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{15}z\,dz\,d\theta =3\cdot2\pi\cdot\frac{15^{2}}{2} =675\pi.

Passo 5

Somando as três partes:
I =\iint_{S_{\text{inf}}}+\iint_{S_{\text{sup}}}+\iint_{S_{\text{lat}}} =0+135\pi+675\pi =810\pi.

Resposta

I=810\pi.

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