Sendo S a superfície dada pela equação \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, pede-se:
(a) Identifique e parametrize a superfície S.
(b) Determine \iint_{S_{1}} x y d S, onde S_{1} é a superfície \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, de z=0 até z=4.
(c) Escreva a equação do plano tangente à superfície S no ponto P_{0}=(-2,0,2).

Passo 1

O enunciado trata de uma superfície cilíndrica dada por
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
e pede:
(a) identificar e parametrizar essa superfície;
(b) calcular a integral de superfície
\displaystyle \iint_{S_{1}}x\,y\,dS, onde S_{1} é o mesmo cilindro entre z=0 e z=4;
(c) encontrar o plano tangente em P_{0}=(-2,0,2).
Vamos usar parametrização de cilindro, fórmula de integral de superfície via Jacobiano e o método de plano tangente com gradiente de função implícita.

Passo 2

A superfície S é um cilindro elíptico de eixo paralelo a z. Podemos parametrizá-la por
\varphi(u,v)=\bigl(2\cos u,\;3\sin u,\;v\bigr),
com u\in[0,2\pi] e v\in\mathbb{R}. Nessa parametrização temos
\phi_{u}=(-2\sin u,\;3\cos u,\;0) e \phi_{v}=(0,0,1),
logo
dS=\bigl\lVert\phi_{u}\times\phi_{v}\bigr\rVert\,du\,dv =\sqrt{(-2\sin u)^{2}+(3\cos u)^{2}}\;du\,dv =\sqrt{4\sin^{2}u+9\cos^{2}u}\;du\,dv.

Passo 3

No trecho S_{1} temos v\in[0,4]. E x\,y=(2\cos u)(3\sin u)=6\cos u\sin u. Logo a integral fica
\iint_{S_{1}}x\,y\,dS =\int_{u=0}^{2\pi}\int_{v=0}^{4}6\cos u\sin u\, \sqrt{4\sin^{2}u+9\cos^{2}u}\;dv\,du.
Como o integrando não depende de v, a integral em v dá fator 4:
4\int_{0}^{2\pi}6\cos u\sin u\, \sqrt{4\sin^{2}u+9\cos^{2}u}\;du.
Observe que ao trocar u\to\pi-u o fator \cos u\sin u muda de sinal enquanto o radical permanece igual, o que implica integral zero. Portanto
\iint_{S_{1}}x\,y\,dS=0.

Passo 4

Para o plano tangente à superfície S em P_{0} usamos F(x,y,z)=\tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{9}-1=0. O gradiente em P_{0}=(-2,0,2) é
\nabla F =\Bigl(\tfrac{x}{2},\;\tfrac{2y}{9},\;0\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \nabla F(-2,0,2)=\bigl(-1,0,0\bigr).
Esse é o vetor normal ao plano. A equação do plano em P_{0} é
-1\,(x+2)+0\,(y-0)+0\,(z-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2.

Resposta

(a) \displaystyle \varphi(u,v)=(2\cos u,\,3\sin u,\,v),\;u\in[0,2\pi],\;v\in\mathbb{R}.
(b) \displaystyle 0.
(c) \displaystyle x=-2.

Exercícios relacionados