Sendo S a superfície dada pela equação \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, pede-se:
(a) Identifique e parametrize a superfície S.
(b) Determine \iint_{S_{1}} x y d S, onde S_{1} é a superfície \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, de z=0 até z=4.
(c) Escreva a equação do plano tangente à superfície S no ponto P_{0}=(-2,0,2).
Passo 1
O enunciado trata de uma superfície cilíndrica dada por
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
e pede:
(a) identificar e parametrizar essa superfície;
(b) calcular a integral de superfície \displaystyle \iint_{S_{1}}x\,y\,dS, onde S_{1} é o mesmo cilindro entre z=0 e z=4;
(c) encontrar o plano tangente em P_{0}=(-2,0,2).
Vamos usar parametrização de cilindro, fórmula de integral de superfície via Jacobiano e o método de plano tangente com gradiente de função implícita.
Passo 2
A superfície S é um cilindro elíptico de eixo paralelo a z. Podemos parametrizá-la por
\varphi(u,v)=\bigl(2\cos u,\;3\sin u,\;v\bigr),
com u\in[0,2\pi] e v\in\mathbb{R}. Nessa parametrização temos \phi_{u}=(-2\sin u,\;3\cos u,\;0) e \phi_{v}=(0,0,1),
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