Sendo \mathbf{F} o campo vetorial dado por \mathbf{F}(x, y, z)=\langle x, y, z\rangle, determine \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}, onde S é a superfície x^{2}+y^{2}=4, de z=-1 até z=4, orientada para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=\langle x,y,z\rangle através da superfície cilíndrica
x^2+y^2=4,\quad -1\le z\le4,
orientada para fora.
O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial: vamos parametrizar a lateral do cilindro, obter o vetor normal orientado para fora e calcular \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
\mathbf{r}(\theta,z)=\langle 2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;z\rangle,
com 0\le\theta\le2\pi e -1\le z\le4.
As derivadas são
\mathbf{r}_\theta=\langle -2\sin\theta,\,2\cos\theta,\,0\rangle,\quad \mathbf{r}_z=\langle 0,\,0,\,1\rangle.
Logo o vetor de área orientado para fora é
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z =\langle -2\sin\theta,2\cos\theta,0\rangle \times\langle0,0,1\rangle =\langle 2\cos\theta,\,2\sin\theta,\,0\rangle,
e d\mathbf{S}=(\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z)\,d\theta\,dz.

Passo 3

Em \mathbf{r}(\theta,z), o campo vale
\mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta,z)) =\bigl\langle 2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;z\bigr\rangle.
O produto escalar com d\mathbf{S} é
\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z) =\langle 2\cos\theta,2\sin\theta,z\rangle\cdot\langle2\cos\theta,2\sin\theta,0\rangle =4\cos^2\theta+4\sin^2\theta =4.

Passo 4

Portanto o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-1}^{4}4\,dz\,d\theta =4\,(4-(-1))\,(2\pi) =4\cdot5\cdot2\pi =40\pi.

Resposta

40\pi

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