Calcular \iint_{S}(x+z) d S onde S é a porçao do cilindro y^{2}+z^{2}=9, que se encontra no primeiro octante, limitado pelos planos x=0 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
\iint_{S}(x+z)\,dS
em que S é a porção do cilindro y^{2}+z^{2}=9 situada no primeiro octante (isto é, x\ge0, y\ge0, z\ge0), limitada pelos planos x=0 e x=4. O conteúdo principal é parametrização de superfície de cilindro e avaliação da integral resultado.

Passo 2

Parametrizamos S usando coordenadas (x,\theta):
r(x,\theta) = \bigl(x,\;3\cos\theta,\;3\sin\theta\bigr), \quad 0\le x\le 4, \quad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2},
pois y=3\cos\theta\ge0 e z=3\sin\theta\ge0 garantem o primeiro octante.

Passo 3

Calculamos o elemento de área dS. Primeiro achamos
\frac{\partial r}{\partial x} = (1,0,0), \qquad \frac{\partial r}{\partial \theta} = \bigl(0,-3\sin\theta,3\cos\theta\bigr).
O produto vetorial tem norma
\Bigl\|\frac{\partial r}{\partial x}\times\frac{\partial r}{\partial \theta}\Bigr\| = \sqrt{(-3\sin\theta)^{2}+(3\cos\theta)^{2}} =3.
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dS = 3\,dx\,d\theta.

Passo 4

Expressamos o integrando (x+z) em termos de \theta:
z = 3\sin\theta,
então
x+z = x + 3\sin\theta.
Assim a integral fica
\iint_{S}(x+z)\,dS = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{4} \bigl(x+3\sin\theta\bigr)\,3\,dx\,d\theta.

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em x:
\int_{0}^{4}\bigl(x+3\sin\theta\bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac12x^{2}+3\sin\theta\,x\Bigr]_{0}^{4} =8 + 12\sin\theta.
Portanto a integral total é
3\int_{0}^{\pi/2}\bigl(8+12\sin\theta\bigr)\,d\theta =3\Bigl[8\theta -12\cos\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} =3\bigl(4\pi +12\bigr) =12\pi +36.

Resposta

12\pi + 36

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