Calcule \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}-3 z^{2}\right) d S onde S é a superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que esta acima do plano z=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\bigr)\,dS
onde S é a meia-esfera de raio 2 (isto é, a parte de x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com z\ge0). Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície e aplicar a fórmula
dS = R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta,
com R=2, \varphi\in[0,\pi/2], \theta\in[0,2\pi].

Passo 2

Parametrização em esféricas da esfera de raio 2:
x = 2\sin\varphi\cos\theta,\quad y = 2\sin\varphi\sin\theta,\quad z = 2\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\pi/2], \theta\in[0,2\pi].
Então
dS = (2)^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Na esfera vale
x^{2}+y^{2} = 4\sin^{2}\varphi, \quad z^{2} = 4\cos^{2}\varphi,
logo o integrando fica
x^{2}+y^{2}-3z^{2} =4\sin^{2}\varphi -3\cdot4\cos^{2}\varphi =4\bigl(\sin^{2}\varphi -3\cos^{2}\varphi\bigr).
Multiplicando por dS, obtemos o elemento de integração
\bigl(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\bigr)\,dS =4\bigl(\sin^{2}\varphi -3\cos^{2}\varphi\bigr)\cdot4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =16\bigl(\sin^{2}\varphi -3\cos^{2}\varphi\bigr)\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Montamos a integral em \theta e \varphi:
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\bigr)\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/2} 16\bigl(\sin^{2}\varphi -3\cos^{2}\varphi\bigr)\sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.
Como não há \theta no integrando,
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi
e sobra
16\cdot2\pi\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\sin^{2}\varphi -3\cos^{2}\varphi\bigr)\sin\varphi\,d\varphi.
Separamos em duas integrais:
I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi=\tfrac{2}{3}, \qquad I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos^{2}\varphi\,d\varphi=\tfrac{1}{3}.
Logo
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\sin^{2}\varphi -3\cos^{2}\varphi\bigr)\sin\varphi\,d\varphi =I_{1}-3I_{2} =\tfrac{2}{3}-3\cdot\tfrac{1}{3} =-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo em todo o valor:
16\cdot2\pi\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) =-\frac{32\pi}{3}.

Resposta

-\frac{32\pi}{3}.

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