Calcular \iint_{R} \frac{y \cdot \ln x}{x} d y d x, onde R é limitado por y=x^{2} e y=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{y\cdot \ln x}{x}\,dy\,dx,
onde R é a região limitada por y=x^{2} e y=4. Informações dadas e perguntas claras:
  • A função a integrar é \dfrac{y\ln x}{x}.
  • A região R é o conjunto de pontos entre a parábola y=x^{2} e a reta horizontal y=4.
  • Pergunta: calcular a integral dupla sobre essa região (ou verificar se ela converge e, se convergente, obter o valor).
    Observação importante (retirada do próprio enunciado): a presença de \ln x exige que consideremos apenas x>0 para a integral em reais; portanto a porção de R com x\le 0 não contribui (ou torna a integral não definida em reais). A partir daqui vamos trabalhar com a parte de R em que x>0.

Passo 2

Descrever explicitamente os limites de integração (em ordem dy\,dx, como no enunciado).
  • A curva y=x^{2} cruza y=4 quando x^{2}=4, isto é, em x=\pm 2.
  • Como precisamos de x>0 (por causa de \ln x), o intervalo de x é 0<x\le 2.
  • Para cada x fixo com 0<x\le 2, y varia de y=x^{2} até y=4.
    Logo a integral iterada equivalente é
\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=x^{2}}^{4} \frac{y\ln x}{x}\,dy\right)dx.

Passo 3

Vamos primeiro integrar em y (integração interna), pois a integranda é simples em y. Escrevo a integral como
\int_{0}^{2}\frac{\ln x}{x}\left(\int_{x^{2}}^{4} y\,dy\right)dx.
Aqui usei que \dfrac{\ln x}{x} é constante em relação a y dentro da integral interna. Agora calculamos a integral interna \int_{x^{2}}^{4} y\,dy.

Passo 4

Calcular \int_{x^{2}}^{4} y\,dy.
  • Uma primitiva de y é \dfrac{y^{2}}{2}.
  • Avaliando entre y=x^{2} e y=4 obtemos
\int_{x^{2}}^{4} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{y=x^{2}}^{y=4} = \frac{4^{2}}{2}-\frac{(x^{2})^{2}}{2} = \frac{16}{2}-\frac{x^{4}}{2} = 8-\frac{x^{4}}{2}.

Passo 5

Substituindo o resultado da integral interna na integral em x, obtemos
\int_{0}^{2}\frac{\ln x}{x}\left(8-\frac{x^{4}}{2}\right)dx.
Distribuindo, escrevemos como soma de duas integrais:
\int_{0}^{2}\left(8\frac{\ln x}{x}\right)dx \;-\; \int_{0}^{2}\left(\frac{x^{4}}{2}\cdot\frac{\ln x}{x}\right)dx.
Simplificando a segunda parcela:
\frac{x^{4}}{2}\cdot\frac{\ln x}{x} = \frac{x^{3}}{2}\ln x.
Portanto a integral é
8\int_{0}^{2}\frac{\ln x}{x}\,dx \;-\; \frac{1}{2}\int_{0}^{2} x^{3}\ln x\,dx.

Passo 6

Analisar a convergência (problema de integral imprópria em x=0).
  • Ambas as integrais são impróprias no limite inferior x\to 0^{+}.
  • Comportamento quando x\to 0^{+}:
    • \dfrac{\ln x}{x} diverge (mais precisamente, integrais do tipo \int_{0}\frac{\ln x}{x}\,dx têm comportamento que leva à divergência).
    • x^{3}\ln x é bem comportado perto de 0: como x^{3}\ln x\to 0, a integral \int_{0}^{2} x^{3}\ln x\,dx converge.
      Logo a possível divergência vem da primeira integral 8\int_{0}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\,dx. Vamos calcular ambas como limites com \varepsilon>0 pequeno e mostrar o que acontece quando \varepsilon\to 0^{+}.

Passo 7

Calcular as integrais em termos de um limite \varepsilon\to 0^{+}.
  1. Para a primeira integral:
\int_{\varepsilon}^{2}\frac{\ln x}{x}\,dx.
Uma primitiva é \dfrac{1}{2}(\ln x)^{2} porque \dfrac{d}{dx}\left(\tfrac{1}{2}(\ln x)^{2}\right)=\dfrac{\ln x}{x}. Assim
\int_{\varepsilon}^{2}\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{1}{2}\big[(\ln 2)^{2}-(\ln \varepsilon)^{2}\big].
Multiplicando por 8 temos
8\int_{\varepsilon}^{2}\frac{\ln x}{x}\,dx = 4\big[(\ln 2)^{2}-(\ln \varepsilon)^{2}\big].
Quando \varepsilon\to 0^{+}, \ln \varepsilon \to -\infty, então (\ln \varepsilon)^{2}\to +\infty, e portanto
4\big[(\ln 2)^{2}-(\ln \varepsilon)^{2}\big]\longrightarrow -\infty.
Ou seja, a primeira parcela tende a -\infty.
  1. Para a segunda integral (que deve ser finita):
\int_{\varepsilon}^{2} x^{3}\ln x\,dx.
Usamos integração por partes: tome u=\ln x, dv=x^{3}dx. Então du=\dfrac{dx}{x} e v=\dfrac{x^{4}}{4}. Assim
\int x^{3}\ln x\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{1}{4}\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{x^{4}}{16}.
Avaliando de \varepsilon a 2 e multiplicando por -\tfrac{1}{2} (conforme nossa expressão original) produz uma quantidade finita quando \varepsilon\to 0^{+}, pois os termos com x^{4}\ln x tendem a 0 quando x\to 0^{+}. Concretamente, não há divergência no segundo termo.

Passo 8

Conclusão sobre a convergência da integral total:
  • A primeira parcela 8\int_{0}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\,dx diverge para -\infty quando tomamos o limite pela origem.
  • A segunda parcela é finita.
  • Soma de uma quantidade que tende a -\infty com uma quantidade finita é -\infty.
    Portanto a integral dupla original é imprópria e diverge; mais precisamente, diverge para -\infty. Vou anotar isso como resposta final.

Resposta

-\infty

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