Calcular \iint_{R} \frac{y \cdot \ln x}{x} d y d x, onde R é limitado por y=x^{2} e y=4.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{y\cdot \ln x}{x}\,dy\,dx,
onde R é a região limitada por y=x^{2} e y=4. Informações dadas e perguntas claras:
A função a integrar é \dfrac{y\ln x}{x}.
A região R é o conjunto de pontos entre a parábola y=x^{2} e a reta horizontal y=4.
Pergunta: calcular a integral dupla sobre essa região (ou verificar se ela converge e, se convergente, obter o valor).
Observação importante (retirada do próprio enunciado): a presença de \ln x exige que consideremos apenas x>0 para a integral em reais; portanto a porção de R com x\le 0 não contribui (ou torna a integral não definida em reais). A partir daqui vamos trabalhar com a parte de R em que x>0.
Passo 2
Descrever explicitamente os limites de integração (em ordem dy\,dx, como no enunciado).
A curva y=x^{2} cruza y=4 quando x^{2}=4, isto é, em x=\pm 2.
Como precisamos de x>0 (por causa de \ln x), o intervalo de x é 0<x\le 2.
Para cada x fixo com 0<x\le 2, y varia de y=x^{2} até y=4.
Logo a integral iterada equivalente é
Analisar a convergência (problema de integral imprópria em x=0).
Ambas as integrais são impróprias no limite inferior x\to 0^{+}.
Comportamento quando x\to 0^{+}:
\dfrac{\ln x}{x} diverge (mais precisamente, integrais do tipo \int_{0}\frac{\ln x}{x}\,dx têm comportamento que leva à divergência).
x^{3}\ln x é bem comportado perto de 0: como x^{3}\ln x\to 0, a integral \int_{0}^{2} x^{3}\ln x\,dx converge.
Logo a possível divergência vem da primeira integral 8\int_{0}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\,dx. Vamos calcular ambas como limites com \varepsilon>0 pequeno e mostrar o que acontece quando \varepsilon\to 0^{+}.
Passo 7
Calcular as integrais em termos de um limite \varepsilon\to 0^{+}.
Para a primeira integral:
\int_{\varepsilon}^{2}\frac{\ln x}{x}\,dx.
Uma primitiva é \dfrac{1}{2}(\ln x)^{2} porque \dfrac{d}{dx}\left(\tfrac{1}{2}(\ln x)^{2}\right)=\dfrac{\ln x}{x}. Assim
Usamos integração por partes: tome u=\ln x, dv=x^{3}dx. Então du=\dfrac{dx}{x} e v=\dfrac{x^{4}}{4}. Assim
\int x^{3}\ln x\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{1}{4}\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{x^{4}}{16}.
Avaliando de \varepsilon a 2 e multiplicando por -\tfrac{1}{2} (conforme nossa expressão original) produz uma quantidade finita quando \varepsilon\to 0^{+}, pois os termos com x^{4}\ln x tendem a 0 quando x\to 0^{+}. Concretamente, não há divergência no segundo termo.
Passo 8
Conclusão sobre a convergência da integral total:
A primeira parcela 8\int_{0}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\,dx diverge para -\infty quando tomamos o limite pela origem.
A segunda parcela é finita.
Soma de uma quantidade que tende a -\infty com uma quantidade finita é -\infty.
Portanto a integral dupla original é imprópria e diverge; mais precisamente, diverge para -\infty. Vou anotar isso como resposta final.