Resolve:
\frac{d x}{d t}=x \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d x}{d t} = x \,\sin t
e pede a solução geral x(t). As informações relevantes são: a incógnita é x função de t; a equação relaciona a derivada de x com x multiplicado por \sin t. Não foi dado valor inicial, então devemos encontrar a família de soluções (constante arbitrária).

Passo 2

Vamos escolher um método. A equação tem a forma em que o lado direito é produto de uma função de x (aqui x mesmo) por uma função de t (aqui \sin t). Isso indica que a equação é separável: podemos rearranjar para ter todos os termos com x num lado e todos os termos com t no outro. Separar variáveis é o método mais direto aqui.

Passo 3

Separe as variáveis explicitamente. Supondo inicialmente x\neq 0, dividimos ambos os lados por x e multiplicamos por dt:
\frac{1}{x}\,dx = \sin t \, dt.
Observação importante: a solução x(t)\equiv 0 também é solução (colocando x=0 na equação original obtém-se 0=0). Vamos tratá-la depois como caso particular.

Passo 4

Integre ambos os lados. Integramos a função \frac{1}{x} em x e \sin t em t:
\int \frac{1}{x}\,dx = \int \sin t \, dt.
Calcule as primitivias: \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| (essa é a antiderivada padrão para 1/x) e \int \sin t\,dt = -\cos t (pois \frac{d}{dt}\cos t = -\sin t, então a primitiva de \sin t é -\cos t). Assim obtemos
\ln|x| = -\cos t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isole x. Exponenciando os dois lados:
|x| = e^{-\cos t + C} = e^{C}\,e^{-\cos t}.
Defina A = e^{C}>0. Então |x| = A e^{-\cos t}, o que dá x = \pm A e^{-\cos t}. Podemos juntar o sinal e o valor positivo numa única constante real K, que pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero). Portanto a forma geral é
x(t) = K\,e^{-\cos t},
com K\in\mathbb{R}. Repare que K=0 corresponde à solução trivial x\equiv0 que mencionamos antes.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): calcule a derivada de x(t)=K e^{-\cos t}. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-\cos t}\bigr)=e^{-\cos t}\cdot\frac{d}{dt}(-\cos t)=e^{-\cos t}\sin t.
Multiplicando por K obtemos \frac{dx}{dt}=K e^{-\cos t}\sin t = x\sin t, logo a solução confere com a equação original.

Resposta

x(t)=K\,e^{-\cos t},\;K\in\mathbb{R}

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