Resolve:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. As informações relevantes são: a incógnita é
função de
; a equação relaciona a derivada de
com
multiplicado por
. Não foi dado valor inicial, então devemos encontrar a família de soluções (constante arbitrária).
Passo 2
Vamos escolher um método. A equação tem a forma em que o lado direito é produto de uma função de
(aqui
mesmo) por uma função de
(aqui
). Isso indica que a equação é separável: podemos rearranjar para ter todos os termos com
num lado e todos os termos com
no outro. Separar variáveis é o método mais direto aqui.
Passo 3
Separe as variáveis explicitamente. Supondo inicialmente
, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Observação importante: a solução
também é solução (colocando
na equação original obtém-se
). Vamos tratá-la depois como caso particular.
Passo 4
Integre ambos os lados. Integramos a função
em
e
em
:
Calcule as primitivias:
(essa é a antiderivada padrão para
) e
(pois
, então a primitiva de
é
). Assim obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isole
. Exponenciando os dois lados:
Defina
. Então
, o que dá
. Podemos juntar o sinal e o valor positivo numa única constante real
, que pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero). Portanto a forma geral é
com
. Repare que
corresponde à solução trivial
que mencionamos antes.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): calcule a derivada de
. Usando a regra da cadeia,
Multiplicando por
obtemos
, logo a solução confere com a equação original.