Calcular
, onde
e
é a superfície plana
, delimitada pelos planos coordenados e pelo plano
e a normal se afasta da origem.
Passo 1
O enunciado pede calcular o fluxo
onde
e
é a parte do plano
no primeiro octante, limitada pelos planos
,
,
e
, com a normal escolhida de modo a apontar para longe da origem. Vamos usar parametrização de superfície e produto vetorial para obter
.
Passo 2
Parametrizamos
por
com
variando de
a
(linhas de interseção com
e
) e
de
a
(entre
e
). Então
Passo 3
O vetor normal (não unitário) é dado por
Para escolher a orientação “para longe da origem”, notamos que em qualquer ponto
o vetor posição
tem produto escalar negativo com
. Logo esse cruza-mento aponta para a origem, e devemos tomar o oposto:
Passo 4
Na parametrização,
Então o integrando fica
O fluxo é
Passo 5
Calculemos primeiro a integral em
:
avaliando de
a
dá
Agora a integral em
: