Calcular
\iint_{S} F . n d S, onde
F(x, y, z)=\left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right) e
S é a superfície plana
x+y=2, delimitada pelos planos coordenados e pelo plano
z=4 e a normal se afasta da origem.

Passo 1

O enunciado pede calcular o fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
onde
\mathbf{F}(x,y,z)=(x^{2},y^{2},z^{2})
e S é a parte do plano x+y=2 no primeiro octante, limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e z=4, com a normal escolhida de modo a apontar para longe da origem. Vamos usar parametrização de superfície e produto vetorial para obter \mathbf{n}\,dS.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\,2-u,\,v\bigr),
com u variando de 0 a 2 (linhas de interseção com x=0 e y=0) e v de 0 a 4 (entre z=0 e z=4). Então
\mathbf{r}_{u}=(1,\,-1,\,0), \qquad \mathbf{r}_{v}=(0,\,0,\,1).

Passo 3

O vetor normal (não unitário) é dado por
\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} =(-1,\,-1,\,0).
Para escolher a orientação “para longe da origem”, notamos que em qualquer ponto (u,2-u,v) o vetor posição (u,2-u,v) tem produto escalar negativo com (-1,-1,0). Logo esse cruza-mento aponta para a origem, e devemos tomar o oposto:
\mathbf{n}\,dS = -\bigl(\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\bigr)\,du\,dv =(1,\,1,\,0)\,du\,dv.

Passo 4

Na parametrização,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) =\bigl(u^{2},\,(2-u)^{2},\,v^{2}\bigr).
Então o integrando fica
\mathbf{F}\cdot(\mathbf{n}\,dS) = \bigl(u^{2},\,(2-u)^{2},\,v^{2}\bigr)\cdot(1,1,0)\,du\,dv = \bigl(u^{2}+(2-u)^{2}\bigr)\,du\,dv.
O fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{v=0}^{4}\!\int_{u=0}^{2}\bigl(u^{2}+(2-u)^{2}\bigr)\,du\,dv.

Passo 5

Calculemos primeiro a integral em u:
\int_{0}^{2}\bigl(u^{2}+(2-u)^{2}\bigr)\,du =\int_{0}^{2}\bigl(u^{2}+4-4u+u^{2}\bigr)\,du =\int_{0}^{2}(2u^{2}-4u+4)\,du.
\text{Antiderivada} = \tfrac{2}{3}u^{3}-2u^{2}+4u,
avaliando de 0 a 2
\frac{2}{3}\cdot8 -2\cdot4 +4\cdot2 = \frac{16}{3} -8 +8 = \frac{16}{3}.
Agora a integral em v:
\int_{0}^{4}\frac{16}{3}\,dv =\frac{16}{3}\cdot4 =\frac{64}{3}.

Resposta

\boxed{\frac{64}{3}}

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