Calcular \iint_{S} \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}}} d S onde S é parte da superfície z=1-x^{2}-y^{2} que se encontra dentro do cilindro x^{2}+y^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}}\,dS
onde S é a parte da superfície z=1-x^{2}-y^{2} sobre o cilindro x^{2}+y^{2}\le1. Vamos usar a projeção de S no plano xy e a fórmula
dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy.

Passo 2

Como z=1-x^{2}-y^{2}, temos
z_x=-2x, \quad z_y=-2y,
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dS =\sqrt{1+(-2x)^2+(-2y)^2}\,dx\,dy =\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy.

Passo 3

Substituindo no integrando,
\frac{1}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS =\frac{1}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}} \;\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy =dx\,dy.

Passo 4

A região projetada é o disco D\colon x^2+y^2\le1, então
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS =\iint_{D}dx\,dy =\text{área}(D) =\pi.á

Resposta

\pi

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