Uma esfera de 200 g está suspensa por uma mola vertical cuja constante de elasticidade é de 28,8 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e está em equilíbrio. A massa é então posta em movimento distendendo-se a mola 30 cm a partir de sua posição de equilíbrio e liberando-se a esfera com uma velocidade de 1,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para baixo. Determine:
a) A posição da esfera no instante t se não há força externa nem resistência do ar
b) A frequência do movimento
c) A frequência angular do movimento
d) O período das vibrações
e) Em que instante a esfera passa pela primeira vez pela posição de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples (MHS) de uma esfera de massa m=0,200,kg presa a uma mola de constante k=28,8,N/m. A posição de equilíbrio já está atingida quando a esfera está suspensa e, a partir daí, distende-se a mola x(0)=+0,30,m (para baixo positivo) e se dá uma velocidade inicial v(0)=+1,6,m/s (para baixo). Vamos modelar o MHS sem amortecimento:

Passo 2

A equação de movimento para o deslocamento x(t) em torno da posição de equilíbrio é
m\,\ddot x + k\,x = 0.
A solução geral é
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
onde \omega=\sqrt{\tfrac{k}{m}} é a frequência angular.

Passo 3

Calculamos a frequência angular:
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{28{,}8}{0{,}200}} = \sqrt{144} = 12\\ \text{rad/s}.
Aplicando as condições iniciais:
x(0)=A = 0{,}30,\quad v(0)=\dot x(0)=B\,\omega = 1{,}6 \;\Longrightarrow\; B = \frac{1{,}6}{12} = 0{,}1333.

Passo 4

Substituindo A e B na solução:
x(t) = 0{,}30\cos(12t) + 0{,}1333\sin(12t) \quad\text{(em metros, para baixo positivo).}

Passo 5

Da definição de frequência f, período T e frequência angular:
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{12}{2\pi}\approx1{,}91\\ \text{Hz}, \quad T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\approx0{,}524\\ \text{s}.

Passo 6

Para achar o instante do primeiro trânsito pela posição de equilíbrio ( x=0), resolvemos
0 = 0{,}30\cos(12t) + 0{,}1333\sin(12t) \;\Longrightarrow\; \tan(12t) = -\frac{0{,}30}{0{,}1333} = -2{,}25.
A menor solução positiva é
12t = \arctan(-2{,}25) + \pi \approx -1{,}1526 + \pi = 1{,}9890\\ \text{rad} \;\Longrightarrow\; t \approx \frac{1{,}9890}{12} = 0{,}166\\ \text{s}.

Resposta

a) \displaystyle x(t) = 0{,}30\cos(12t) + 0{,}1333\sin(12t) m (para baixo positivo).
b) f = \dfrac{12}{2\pi}\approx1{,}91 Hz.
c) \omega = 12 rad/s.
d) T = \dfrac{2\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6}\approx0{,}524 s.
e) t\approx0{,}166 s.

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