Calcular \iint_{S} \frac{1}{\sqrt{1+4 z^{3}}} d S onde S é a porção da superfície dada pela equação z\left(x^{2}+y^{2}\right)=1 que esta contida no interior do cilindro elíptico \frac{x^{2}}{4}+(y-2)^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede
calcular
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{1+4z^{3}}}\,dS,
onde S é a parte da superfície
z\,(x^{2}+y^{2})=1
contida no cilindro elíptico
\frac{x^{2}}{4}+(y-2)^{2}=1.
O método é usar a descrição de S como gráfico de
\,z=z(x,y)=1/(x^{2}+y^{2}), projetar em xy e aplicar
a fórmula de área de superfície
\,dS=\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\;dx\,dy.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf{r}(x,y) = \bigl(x,\;y,\;z(x,y)\bigr) \quad\text{com}\quad z(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}},
e o domínio de projeção é
D=\Bigl\{(x,y)\mid \frac{x^{2}}{4}+(y-2)^{2}\le1\Bigr\},
ou seja, a região plana dentro da elipse de semi-eixos 2 em x
e 1 em y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de z:
z_{x}=-\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \qquad z_{y}=-\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo
z_{x}^{2}+z_{y}^{2} =\frac{4(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{4}} =\frac{4}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.
Assim
dS =\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\;dx\,dy =\sqrt{1+\frac{4}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}\;dx\,dy.

Passo 4

O integrando é
\frac{1}{\sqrt{1+4z^{3}}} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}},
de modo que
\frac{1}{\sqrt{1+4z^{3}}}\;dS =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}} \;\sqrt{1+\frac{4}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}\;dx\,dy =dx\,dy.
Portanto o integral de superfície reduz-se à área de D:
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{1+4z^{3}}}\,dS =\iint_{D}1\;dx\,dy.

Passo 5

D é uma elipse de semi-eixos a=2 (eixo x) e b=1 (eixo y),
logo sua área é
\text{Area}(D)=\pi\,a\,b=\pi\cdot2\cdot1=2\pi.

Resposta

2\pi.

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