Dada a função f(x)= \begin{cases}x+2 & \text { se } x<1, \\\\ 3 x & \text { se } x \geq 1,\end{cases} calcule \left(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)\right) e \left(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)\right). O limite \left(\lim _{x \rightarrow 1} f(x)\right) existe?

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+2, & x<1,\\\\ 3x, & x\ge1, \end{cases}
e pede os limites laterais em x=1 e se o limite total em x=1 existe. Vamos usar a definição de limite lateral para funções definidas por partes.

Passo 2

Para calcular \lim_{x\to1^-}f(x) observamos que, ao nos aproximarmos de 1 pela esquerda, valem os valores de f(x)=x+2. Logo,
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(x+2) =1+2 =3.

Passo 3

Para calcular \lim_{x\to1^+}f(x) usamos a definição em x\ge1, onde f(x)=3x. Portanto,
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(3x) =3\cdot1 =3.

Passo 4

Como \lim_{x\to1^-}f(x)=3 e \lim_{x\to1^+}f(x)=3 são iguais, o limite total existe e vale esse mesmo valor.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=3,
\displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x)=3,
e \displaystyle \lim_{x\to1}f(x) existe e é igual a 3.

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