Calcular \int_{C} y d x+z d y-x d z para a cúbica torcida x=t, y=t^{2}, z=t^{3} de (0,0,0) para (1,1,1).
(Prof. Péricles)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha da 1-forma
\omega = y\,dx + z\,dy - x\,dz
ao longo da curva cúbica torcida C dada por
x(t)=t,\quad y(t)=t^2,\quad z(t)=t^3,
com t variando de 0 a 1.
Vamos usar a definição de integral de linha de uma 1-forma: se \omega = P\,dx+Q\,dy+R\,dz e a curva é parametricamente dada por (x(t),y(t),z(t)), então
\int_C \omega = \int_{t=0}^{1}\bigl[P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr]\,dt.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=t,\quad y(t)=t^2,\quad z(t)=t^3,\quad 0\le t\le1.
Calculamos as derivadas:
dx = x'(t)\,dt = 1\cdot dt = dt,
dy = y'(t)\,dt = 2t\,dt,
dz = z'(t)\,dt = 3t^2\,dt.

Passo 3

Agora substituímos em cada termo da 1-forma:
y\,dx = t^2\cdot dt = t^2\,dt,
z\,dy = t^3\cdot(2t\,dt)=2t^4\,dt,
-\,x\,dz = -\,t\cdot(3t^2\,dt) = -3t^3\,dt.

Passo 4

Somando os três termos obtemos o integrando em t:
y\,dx + z\,dy - x\,dz = \bigl(t^2 + 2t^4 -3t^3\bigr)\,dt.
Portanto a integral vira
\int_C \omega = \int_{0}^{1}\bigl(t^2 + 2t^4 -3t^3\bigr)\,dt.

Passo 5

Calculamos termo a termo:
\int_{0}^{1}t^2\,dt = \frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}2t^4\,dt = 2\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{5},\quad \int_{0}^{1}(-3t^3)\,dt = -3\cdot\frac{1}{4} = -\frac{3}{4}.
Somando:
\frac{1}{3} + \frac{2}{5} - \frac{3}{4} = \frac{20}{60} + \frac{24}{60} - \frac{45}{60} = -\frac{1}{60}.

Resposta

-\tfrac{1}{60}

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