Considere o seguinte problema de valor inicial :
Deseja-se aproximar o valor de
utilizando métodos numéricos com passo
.
(a) Aproxime o valor de
usando o método de Euler com passo
.
(b) Aproxime o valor de
usando o método de Runge-Kutta com o mesmo passo.
Todos os itens tem a mesma pontuação.
Deseja-se aproximar o valor de
(a) Aproxime o valor de
(b) Aproxime o valor de
Todos os itens tem a mesma pontuação.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede a aproximação de
usando passo
pelos métodos de Euler e de Runge–Kutta de 4ª ordem, e depois comparar com a solução exata.
Passo 2
Aplicando o método de Euler com passo
:
- Em
, , logo - Em
, , portanto
Passo 3
Aplicando o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) em dois passos de tamanho
:
Para cada passo usamos
- De
a obtemos
. - De
a obtemos
Passo 4
Encontrando a solução exata por fator integrante:
Integramos por partes e achamos
Como
dá
.
Logo
Logo
e em
Passo 5
Comparando:
– Euler deu , com erro de cerca de
.
– RK4 deu , com erro de cerca de
.
Portanto RK4 é muito mais preciso neste passo.
– Euler deu
– RK4 deu
Portanto RK4 é muito mais preciso neste passo.
Resposta
(a) Pelo método de Euler:
.
(b) Pelo método de Runge–Kutta 4ª ordem: .
(c) Solução exata:
(b) Pelo método de Runge–Kutta 4ª ordem:
(c) Solução exata:
logo o erro de Euler é
e o de RK4 é
.