(3,0) Considere o seguinte problema de valor inicial :
Deseja-se aproximar o valor de y(0,2) utilizando métodos numéricos com passo h=0,1.
(a) Aproxime o valor de y(0,2) usando o método de Euler com passo h=0,1.
(b) Aproxime o valor de y(0,2) usando o método de Runge-Kutta com o mesmo passo.
C_{\text {\text{(c)} Compare os resultados obtidos nos itens anteriores com a solução exata da equação diferencial. }}çãçã
Todos os itens tem a mesma pontuação.
\frac{d y}{d x}=y-x^{2}+1, \quad y(0)=0,5

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx} = y - x^2 + 1,\quad y(0)=0,5
e pede a aproximação de y(0,2) usando passo h=0,1 pelos métodos de Euler e de Runge–Kutta de 4ª ordem, e depois comparar com a solução exata.

Passo 2

Aplicando o método de Euler com passo h=0,1:
  1. Em x_{0}=0, y_{0}=0,5, f(x_{0},y_{0}) = y_{0} - x_{0}^{2} + 1 = 0,5 - 0 + 1 = 1,5,logo y_{1} = y_{0} + h\,f(x_{0},y_{0}) = 0,5 + 0,1\cdot1,5 = 0,65.
  2. Em x_{1}=0,1, y_{1}=0,65, f(x_{1},y_{1}) = 0,65 - (0,1)^{2} + 1 = 0,65 - 0,01 + 1 = 1,64,portanto y_{2} = y_{1} + h\,f(x_{1},y_{1}) = 0,65 + 0,1\cdot1,64 = 0,814.

Passo 3

Aplicando o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) em dois passos de tamanho h=0,1:
Para cada passo usamos
k_{1} = f(x_{n},y_{n}),\quad k_{2} = f\Bigl(x_{n}+\tfrac h2,\;y_{n}+\tfrac h2\,k_{1}\Bigr),
k_{3} = f\Bigl(x_{n}+\tfrac h2,\;y_{n}+\tfrac h2\,k_{2}\Bigr),\quad k_{4} = f\bigl(x_{n}+h,\;y_{n}+h\,k_{3}\bigr),
y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{6}\,(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}).
  1. De x_{0}=0 a x_{1}=0,1 obtemos
    y_{1}\approx0,657414375.
  2. De x_{1}=0,1 a x_{2}=0,2 obtemos y_{2}\approx0,829298241.

Passo 4

Encontrando a solução exata por fator integrante:
\mu(x)=e^{-x},\quad \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x}\bigr) = (-x^{2}+1)\,e^{-x}.
Integramos por partes e achamos
y\,e^{-x} = (x+1)^{2}e^{-x} + C \quad\Longrightarrow\quad y(x) = (x+1)^{2} + C\,e^{x}.
Como y(0)=0,5 1 + C = 0,5\Rightarrow C=-0,5.
Logo
y(x) = (x+1)^{2} - \tfrac12\,e^{x},
e em x=0,2
y(0,2) = (1,2)^{2} - \tfrac12\,e^{0,2} = 1,44 - 0,5\,e^{0,2} \approx 0,82929862.

Passo 5

Comparando:
– Euler deu 0,814, com erro de cerca de 0,0153.
– RK4 deu 0,82929824, com erro de cerca de 3{,}8\times10^{-7}.
Portanto RK4 é muito mais preciso neste passo.

Resposta

(a) Pelo método de Euler: y(0,2)\approx0,814.
(b) Pelo método de Runge–Kutta 4ª ordem: y(0,2)\approx0,82929824.
(c) Solução exata:
y(0,2) = (1,2)^{2} - \tfrac12\,e^{0,2}\approx0,82929862,
logo o erro de Euler é \approx0,0153 e o de RK4 é \approx3{,}8\times10^{-7}.

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