Determine a integral de linha \int_{C}(y-x) d x+4 x y d y no segmento de reta de (-2,2) para (1,-1).

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos a integral de linha
\displaystyle \int_{C}(y - x)\,dx + 4\,x\,y\,dy
sobre o segmento de reta que vai de (-2,2) até (1,-1). O conteúdo aqui é parametrizar a curva C, calcular dx e dy e substituir na integral.

Passo 2

Escolhemos a parametrização linear
\mathbf r(t)=(-2,2)+t\,(3,-3),\qquad 0\le t\le1,
de modo que
x(t)=-2+3t,\quad y(t)=2-3t,
portanto
dx=3\,dt,\quad dy=-3\,dt.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int_{C}(y - x)\,dx + 4\,x\,y\,dy obtemos
\int_{0}^{1}\Bigl[(y(t)-x(t))\cdot dx + 4\,x(t)\,y(t)\cdot dy\Bigr] =\int_{0}^{1}\Bigl[(4-6t)\cdot3 + (-16+48t-36t^2)\cdot(-3)\Bigr]dt
onde usamos
y(t)-x(t)=(2-3t)-(-2+3t)=4-6t,
e
4\,x(t)\,y(t)=4(-2+3t)(2-3t)=-16+48t-36t^2.
Logo o integrando é
(4-6t)\,3 +(-16+48t-36t^2)(-3) =60 -162t +108t^2.
Agora integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(108t^2-162t+60)\,dt =\Bigl[36t^3 -81t^2 +60t\Bigr]_{0}^{1} =36-81+60=15.

Resposta

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