Calcular \int_{\mathrm{C}}\left[\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} d y\right] ao longo dos seguintes caminhos:
Elipse \frac{(x-4)^{2}}{9}+\frac{(y-3)^{2}}{4}=1 no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha fechado
\oint_{\mathrm C}\Bigl[\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dy\Bigr]
ao longo da elipse
\frac{(x-4)^{2}}{9}+\frac{(y-3)^{2}}{4}=1
orientada no sentido anti-horário.
O conteúdo envolvido é de formas diferenciais e campos conservativos (testar se a forma é exata num domínio que não contenha a singularidade em (0,0)).

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\quad Q(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, o que indica que a forma é fechada onde está definida.

Passo 3

A região interna à elipse é simplesmente conexa e não contém o ponto (0,0), única singularidade de P e Q. Portanto, no interior de \mathrm C o campo é conservativo (exato).

Passo 4

Como o campo é conservativo, existe potencial
\varphi(x,y)=\frac12\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),
pois
d\varphi=\frac{x\,dx+y\,dy}{x^{2}+y^{2}}.
O integral de uma forma exata sobre curva fechada é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados