Calcular \int_{\mathrm{C}}\left[\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} d y\right] ao longo dos seguintes caminhos:
Circunferência x^{2}+y^{2}=4 no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{C}\biggl[\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dy\biggr]
ao longo da circunferência x^{2}+y^{2}=4 no sentido anti-horário. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial e usaremos parametrização em coordenadas polares.

Passo 2

Parametrizamos C por
\begin{cases} x=2\cos t,\\\ y=2\sin t, \end{cases} \quad t\in[0,2\pi].
Dessa forma,
dx=-2\sin t\,dt, \quad dy=2\cos t\,dt.

Passo 3

Sobre C, temos x^{2}+y^{2}=4, logo o integrando fica
\frac{x\,dx+y\,dy}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x\,dx+y\,dy}{4}.
Basta então calcular x\,dx+y\,dy em função de t.

Passo 4

Substituindo a parametrização:
x\,dx+y\,dy =(2\cos t)(-2\sin t\,dt)+(2\sin t)(2\cos t\,dt) =(-4\sin t\cos t+4\sin t\cos t)\,dt =0\cdot dt.
O integrando é identicamente zero.

Passo 5

Portanto a integral é
\int_{0}^{2\pi}\frac{0}{4}\,dt =0.

Resposta

0

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