Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(\sin x, \cos y, z^{3}\right).
(a) Verifique se o campo é conservativo.
(b) Se for conservativo, calcule a integral de linha de \vec{F} do ponto ( 0,0,0 ) até o ponto ( \pi, \frac{\pi}{2}, 2 ).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec F(x,y,z) = (\sin x,\;\cos y,\;z^3)
e pede (a) verificar se é conservativo e (b) calcular a integral de linha de (0,0,0) até \bigl(\pi,\tfrac\pi2,2\bigr). Para isso vamos usar o teste do rotor e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Calculamos o rotor \nabla\times\vec F pelas componentes
\nabla\times\vec F = \Bigl(\partial_y F_z - \partial_z F_y,\;\partial_z F_x - \partial_x F_z,\;\partial_x F_y - \partial_y F_x\Bigr).
Aqui \partial_y(z^3)=0, \partial_z(\cos y)=0, \partial_z(\sin x)=0 e \partial_x(z^3)=0, de modo que
\nabla\times\vec F = (0,0,0).

Passo 3

Como o rotor é nulo em \mathbb{R}^3, que é simplesmente conectado, concluímos que \vec F é um campo conservativo.

Passo 4

Buscamos uma função f(x,y,z) tal que \nabla f = \vec F.
Integrando \partial_x f = \sin x em x obtemos
f(x,y,z) = -\cos x + g(y,z).
Em seguida \partial_y f = \cos y implica \partial_y g = \cos y, logo
g(y,z) = \sin y + h(z).
Por fim, \partial_z f = z^3 exige h'(z)=z^3, de onde
h(z) = \frac{z^4}{4}.
Assim a função potencial é
f(x,y,z) = -\cos x + \sin y + \frac{z^4}{4}.

Passo 5

A integral de linha de um campo conservativo é a diferença de potencial nos extremos. Logo
\int_{(0,0,0)}^{\bigl(\pi,\tfrac\pi2,2\bigr)}\vec F\cdot d\vec r = f\bigl(\pi,\tfrac\pi2,2\bigr) \;-\; f(0,0,0).
Calculamos
f\bigl(\pi,\tfrac\pi2,2\bigr) = -\cos\pi + \sin\frac\pi2 + \frac{2^4}{4} = 1 + 1 + 4 = 6, \quad f(0,0,0) = -\cos0 + \sin0 + 0 = -1,
portanto o valor da integral é
6 - (-1) = 7.

Resposta

(a) \vec F é conservativo.
(b) A integral de linha vale 7.

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