Considere o campo vetorial
.
(a) Verifique se o campo é conservativo.
(b) Se for conservativo, calcule a integral de linha de
do ponto (
) até o ponto (
).
(a) Verifique se o campo é conservativo.
(b) Se for conservativo, calcule a integral de linha de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede (a) verificar se é conservativo e (b) calcular a integral de linha de
até
. Para isso vamos usar o teste do rotor e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
Passo 2
Calculamos o rotor
pelas componentes
Aqui
,
,
e
, de modo que
Passo 3
Como o rotor é nulo em
, que é simplesmente conectado, concluímos que
é um campo conservativo.
Passo 4
Buscamos uma função
tal que
.
Integrando em
obtemos
Integrando
Em seguida
implica
, logo
Por fim,
exige
, de onde
Assim a função potencial é
Passo 5
A integral de linha de um campo conservativo é a diferença de potencial nos extremos. Logo
Calculamos
portanto o valor da integral é
Resposta
(a)
é conservativo.
(b) A integral de linha vale .
(b) A integral de linha vale