Seja \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}, y z, z^{2}\right) e seja S a parte do cilindro x^{2}+y^{2}=1 entre os planos z=0 e z=2, orientada para fora. Calcule a integral de superficie \iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F}(x,y,z)=(x^2,yz,z^2) pela superfície lateral do cilindro x^2+y^2=1, 0\le z\le2, com orientação para fora. O conteúdo é cálculo de integral de superfície de um campo vetorial, que faremos parametrizando a superfície e usando
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S =\iint_{D}\vec F(\vec r(u,v))\cdot\bigl(\vec r_u\times\vec r_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro por
\vec r(\theta,z)=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;z), \quad 0\le\theta\le2\pi,\; 0\le z\le2.
Então
\vec r_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta,0), \quad \vec r_z=(0,0,1),
e o vetor normal orientado para fora é
\vec n\,dS =(\vec r_\theta\times\vec r_z)\,d\theta\,dz =(\cos\theta,\sin\theta,0)\,d\theta\,dz.
Assim
\vec F\bigl(\vec r(\theta,z)\bigr) =\bigl(\cos^2\theta,\;z\sin\theta,\;z^2\bigr).

Passo 3

O produto escalar é
\vec F\cdot\vec n =\bigl(\cos^2\theta,\;z\sin\theta,\;z^2\bigr)\!\cdot\!(\cos\theta,\sin\theta,0) =\cos^3\theta+z\sin^2\theta.
Logo a integral fica
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{z=0}^{2} \bigl(\cos^3\theta+z\sin^2\theta\bigr)\,dz\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{2}\cos^3\theta\,dz =2\cos^3\theta, \quad \int_{0}^{2}z\sin^2\theta\,dz =\sin^2\theta\;\frac{2^2}{2} =2\sin^2\theta.
Portanto
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S =\int_{0}^{2\pi}\bigl(2\cos^3\theta+2\sin^2\theta\bigr)\,d\theta =2\int_{0}^{2\pi}\cos^3\theta\,d\theta +2\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta.
Como \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^3\theta\,d\theta=0 e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\pi, obtemos
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S =2\bigl(0+\pi\bigr) =2\pi.

Resposta

2\pi

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