Calcular \int_{\mathrm{C}}\left[\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} d y\right] ao longo dos seguintes caminhos:
Ao longo da hipérbole x y=1 entre os pontos A=(1,1) e B=\left(3, \frac{1}{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\Bigl[\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dy\Bigr]
ao longo da hipérbole xy=1 do ponto A=(1,1) até B=\bigl(3,\tfrac13\bigr).
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial em plano e vamos verificar se ele é conservativo (exato), encontrando um potencial escalar.

Passo 2

Defina
P(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Para ver se (P,Q) é conservativo, calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo ponto com x^{2}+y^{2}\neq0, e nossa curva fica no primeiro quadrante longe da origem, o campo é conservativo ali. Logo existe f(x,y) tal que
df = P\,dx + Q\,dy.
Para encontrar f, integramos
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y) \quad\Longrightarrow\quad f(x,y)=\int\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx =\frac12\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+g(y).
Derivando em y e comparando com Q g'(y)=0, portanto
f(x,y)=\frac12\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,+\text{const}.

Passo 3

Pelo Teorema de Campo Conservativo, a integral depende só de f(B)-f(A):
\int_{C}P\,dx+Q\,dy =f\bigl(B\bigr)-f\bigl(A\bigr) =\frac12\ln\bigl(3^{2}+(\tfrac13)^{2}\bigr) -\frac12\ln\bigl(1^{2}+1^{2}\bigr).
Calculando:
3^{2}+\bigl(\tfrac13\bigr)^{2} =9+\tfrac{1}{9} =\frac{82}{9}, \qquad 1^{2}+1^{2}=2,
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f(B)-f(A) =\frac12\ln\!\Bigl(\frac{82/9}{2}\Bigr) =\frac12\ln\!\Bigl(\frac{82}{18}\Bigr) =\frac12\ln\!\Bigl(\frac{41}{9}\Bigr).

Resposta

\boxed{\int_{C}\Bigl[\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dy\Bigr] =\frac12\ln\!\Bigl(\frac{41}{9}\Bigr).}

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