Questão 1 (4 pontos). Calcule a derivada da seguinte função:
\sqrt{x^{2}+1}-x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt{x^{2}+1}-x.
Estamos tratando de derivadas, em especial da função potência e da regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar o termo \sqrt{x^{2}+1}, note que ele pode ser escrito como (x^{2}+1)^{1/2}. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(x^{2}+1)^{1/2} =\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+1) =\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 3

A derivada de -x em relação a x é simplesmente
\frac{d}{dx}(-x)=-1.

Passo 4

Somando as duas derivadas, temos
f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-1.

Resposta

f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-1.

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