Questão 1 (4 pontos). Calcule a derivada da seguinte função:
\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \quad(a \in \mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}
onde a é constante real. Para isso, vamos usar o truque de reescrever f como produto, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x) = x\,(a^{2}-x^{2})^{-\tfrac12}.
Definimos u(x)=x e v(x)=(a^{2}-x^{2})^{-\tfrac12}. Assim, pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=1,
v'(x)=-\tfrac12\,(a^{2}-x^{2})^{-\tfrac32}\cdot(-2x) = x\,(a^{2}-x^{2})^{-\tfrac32}.
Logo,
f'(x) = 1\cdot(a^{2}-x^{2})^{-\tfrac12} + x\cdot x\,(a^{2}-x^{2})^{-\tfrac32}.

Passo 4

Agora somamos e fatoramos (a^{2}-x^{2})^{-\tfrac32}:
f'(x) = \frac{1}{(a^{2}-x^{2})^{\tfrac12}} + \frac{x^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{\tfrac32}} = \frac{a^{2}-x^{2}+x^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{\tfrac32}} = \frac{a^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{\tfrac32}}.

Resposta

f'(x) = \frac{a^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{\tfrac32}}.

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