Calcular
, onde
e
é a poligonal de vértices
, de
para
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
com
e
é a poligonal que vai de
a
, depois a
, depois a
. O conteúdo principal é usar o Teorema de Green para a curva fechada formadas pelos vértices
e depois subtrair o trecho
, que é fácil de integrar diretamente.
Passo 2
Aplicamos Green à curva fechada
. Pelo teorema,
Calculamos
Logo o integrando é
.
Passo 3
Descrevemos a região
no plano: para
variando de
a
, a aresta esquerda é
e a aresta direita é a reta que liga
a
, cuja equação é
. Assim
Fazendo a integral em
:
Agora em
:
Portanto
Passo 4
Agora parametrizamos o trecho
(de
a
) por
,
. Então
e
Reconhecemos que
logo
Integramos de
a
:
Esse é
.
Passo 5
Como
seguem que