Calcular \int_{C} \vec{f} \cdot d \vec{r}, onde \vec{f}=\left(\left(x^{3}+2\right) \sqrt{x^{4}+8 x}+y, 4 x^{2} y\right) e C é a poligonal de vértices A(1,0), B(3,2), C(0,2), D(0,0), de A para D.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\int_{C}\vec f\cdot d\vec r
onde \vec f=(P,Q) com
P(x,y)=(x^3+2)\sqrt{x^4+8x}+y, \quad Q(x,y)=4x^2y,
e C é a poligonal que vai de A(1,0) a B(3,2), depois a C(0,2), depois a D(0,0). O conteúdo principal é usar o Teorema de Green para a curva fechada formadas pelos vértices A\to B\to C\to D\to A e depois subtrair o trecho D\to A, que é fácil de integrar diretamente.

Passo 2

Aplicamos Green à curva fechada \Gamma=A\to B\to C\to D\to A. Pelo teorema,
\oint_{\Gamma}\vec f\cdot d\vec r =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(4x^2y)=8xy, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl((x^3+2)\sqrt{x^4+8x}+y\bigr)=1.
Logo o integrando é 8xy-1.

Passo 3

Descrevemos a região D no plano: para y variando de 0 a 2, a aresta esquerda é x=0 e a aresta direita é a reta que liga (1,0) a (3,2), cuja equação é x=1+y. Assim
\iint_{D}(8xy-1)\,dA =\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{\,1+y}(8xy-1)\,dx\,dy.
Fazendo a integral em x:
\int_{0}^{1+y}(8xy-1)\,dx =\Bigl[4x^2y - x\Bigr]_{0}^{1+y} =4y(1+y)^2 - (1+y) =4y^3+8y^2+3y-1.
Agora em y:
\int_{0}^{2}(4y^3+8y^2+3y-1)\,dy =\Bigl[y^4+\tfrac{8}{3}y^3+\tfrac{3}{2}y^2 - y\Bigr]_{0}^{2} =16+\tfrac{64}{3}+6-2 =\frac{124}{3}.
Portanto
\oint_{\Gamma}\vec f\cdot d\vec r =\frac{124}{3}.

Passo 4

Agora parametrizamos o trecho D\to A (de (0,0) a (1,0)) por x=t,\;y=0, t\in[0,1]. Então dx=dt,\;dy=0 e
\vec f\cdot d\vec r =P(x,0)\,dx =(x^3+2)\sqrt{x^4+8x}\,dx.
Reconhecemos que
\frac{d}{dx}\bigl(x^4+8x\bigr)^{3/2} =(6x^3+12)\sqrt{x^4+8x} =6\,(x^3+2)\sqrt{x^4+8x},
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(x^3+2)\sqrt{x^4+8x} =\frac{1}{6}\frac{d}{dx}\bigl(x^4+8x\bigr)^{3/2}.
Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(x^3+2)\sqrt{x^4+8x}\,dx =\frac{1}{6}\bigl[(x^4+8x)^{3/2}\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{6}\cdot9^{3/2} =\frac{27}{6} =\frac{9}{2}.
Esse é \displaystyle\int_{D\to A}\vec f\cdot d\vec r.

Passo 5

Como
\oint_{\Gamma}\vec f\cdot d\vec r =\int_{A\to B\to C\to D}\vec f\cdot d\vec r +\int_{D\to A}\vec f\cdot d\vec r,
seguem que
\int_{A\to B\to C\to D}\vec f\cdot d\vec r =\oint_{\Gamma}\vec f\cdot d\vec r -\int_{D\to A}\vec f\cdot d\vec r =\frac{124}{3}-\frac{9}{2} =\frac{248-27}{6} =\frac{221}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{221}{6}

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