calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
{\oint_{C}\left[\left(e^{1^{1}}+y^{2}\right) d x+\left(x+\sqrt{1+y^{2}}\right) d y\right] onde C é o quadrado de vértices (0,0),(1,0), (1,1) e (0,1) no sentido horário.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de linha
\oint_{C}\Bigl[\bigl(e^{1^{1}}+y^{2}\bigr)\,dx+\bigl(x+\sqrt{1+y^{2}}\bigr)\,dy\Bigr]
onde C é o quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1),(0,1) percorrido no sentido horário. Vamos aplicar o Teorema de Green, que diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
mas para percurso horário devemos multiplicar por -1.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=e^{1^{1}}+y^{2}=e+y^{2}, \qquad Q(x,y)=x+\sqrt{1+y^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2y.
Logo o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1-2y.

Passo 4

Pelo Teorema de Green com inversão de sinal (sentido horário),
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =-\iint_{D}(1-2y)\,dA
onde D=[0,1]\times[0,1].

Passo 5

Calculamos a integral dupla:
\iint_{D}(1-2y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}(1-2y)\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\bigl[y-y^{2}\bigr]_{0}^{1}\,dx =\int_{0}^{1}(1-1)\,dx =0.
Portanto
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =-0=0.

Resposta

0

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