Dado o campo vetorial
,
para toda curva fechada simples
, suave por partes, que circunda a origem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para o campo vetorial
a integral de linha em qualquer curva fechada simples
, suave por partes, que envolve a origem satisfaz
O conteúdo que vamos usar é a identificação de
como gradiente de uma função potencial bem definida em
.
Passo 2
Vamos procurar uma função
tal que
Observe que a derivada de
dá exatamente
Logo, podemos escolher
Passo 3
Como
e
é uma função única e bem definida sempre que
, podemos aplicar o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos. Em qualquer curva fechada
dentro do domínio de
(ou seja, que não passe pelo ponto
), vale
Mas, como a curva é fechada, o ponto final coincide com o inicial, e portanto