Dado o campo vetorial \vec{f}=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right), \underset{c}{\operatorname{mostrar~que}} \oint_{\vec{f}} \cdot d \vec{r}=0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para o campo vetorial
\vec{f}(x,y)=\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\,\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr),
a integral de linha em qualquer curva fechada simples C, suave por partes, que envolve a origem satisfaz
\oint_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=0.
O conteúdo que vamos usar é a identificação de \vec{f} como gradiente de uma função potencial bem definida em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 2

Vamos procurar uma função \varphi(x,y) tal que
\nabla \varphi(x,y) =\Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\,\frac{\partial \varphi}{\partial y}\Bigr) =\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\,\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr).
Observe que a derivada de \ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(1/2)\ln(x^{2}+y^{2}) dá exatamente
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac12\ln(x^2+y^2)\Bigr) =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac12\ln(x^2+y^2)\Bigr) =\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Logo, podemos escolher
\varphi(x,y)=\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \nabla \varphi=\vec{f}.

Passo 3

Como \vec{f}=\nabla\varphi e \varphi é uma função única e bem definida sempre que (x,y)\neq(0,0), podemos aplicar o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos. Em qualquer curva fechada C dentro do domínio de \varphi (ou seja, que não passe pelo ponto (0,0)), vale
\oint_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r} =\oint_{C}\nabla\varphi\cdot d\vec{r} =\varphi\bigl(\text{ponto final}\bigr)-\varphi\bigl(\text{ponto inicial}\bigr).
Mas, como a curva é fechada, o ponto final coincide com o inicial, e portanto
\oint_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r} =0.

Resposta

\boxed{0.}

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