Determine os intervalos de convergência da série:
\sum_{i} \frac{-(r-2)^{n}}{3 n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} -\frac{(r-2)^{n}}{3\,n}.
O conteúdo é determinação do intervalo de convergência de uma série de potências em r. Vamos usar o Critério da Razão para achar o raio de convergência e depois testar os extremos do intervalo.

Passo 2

Defina
a_{n} = -\frac{(r-2)^{n}}{3\,n}.
O Critério da Razão pede o limite
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{-(r-2)^{n+1}/[3(n+1)]}{-(r-2)^{n}/(3n)}\right| =\lim_{n\to\infty}\Bigl|r-2\Bigr|\frac{n}{n+1} =\bigl|r-2\bigr|.
Pela razão, a série converge se \bigl|r-2\bigr|<1.

Passo 3

Da condição \bigl|r-2\bigr|<1 segue que
1 < r < 3,
ou seja, o raio de convergência é R=1 e o intervalo aberto de convergência absoluta é (1,3).

Passo 4

Verificando r=3: nesse caso (r-2)=1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{1^n}{3\,n} =-\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que diverge por ser proporcional à série harmônica. Logo não há convergência em r=3.

Passo 5

Verificando r=1: aqui (r-2)=-1 e a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{(-1)^n}{3\,n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{3\,n}.
Trata-se de uma série alternada cujos termos em módulo 1/(3n) são decrescentes e tendem a zero. Pelo Critério de Leibniz ela converge (condicionalmente) em r=1.

Resposta

A série converge absolutamente para 1<r<3, converge condicionalmente em r=1 e diverge em r=3.
O intervalo de convergência é [1,3).

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